2017年四川中考突破复习题型专项(十二)二次函数与几何图形 下载本文

专项(十二) 二次函数与几何图形的综合题 类型1 探究图形面积的数量关系及最值问题

1.(2016·安徽)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0). (1)求a,b的值;

(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式,并求S的最大值.

解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx.得

??4a+2b=4,? ?36a+6b=0.?

1??a=-2,解得?

??b=3.

(2)过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过点C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为点E,F. 11S△OAD=OD·AD=×2×4=4,

2211

S△ACD=AD·CE=×4×(x-2)=2x-4,

22111

S△BCD=BD·CF=×4×(-x2+3x)=-x2+6x,

222

则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x.

∴S关于x的函数解析式为S=-x2+8x(2<x<6). ∵S=-(x-4)2+16.

∴当x=4时,四边形OACB的面积S取最大值,最大值为16.

31

2.(2016·雅安中学一诊)如图,已知抛物线y=ax2-x+c与x轴相交于A,B两点,并与直线y=x-2交于B,C

221

两点,其中点C是直线y=x-2与y轴的交点,连接AC.

2

(1)求抛物线解析式;

(2)求证:△ABC为直角三角形;

(3)在抛物线CB段上存在点P使得以A,C,P,B为顶点的四边形面积最大,请求出点P的坐标以及此时以A,C,P,B为顶点的四边形面积.

1

解:(1)∵直线y=x-2交x轴,y轴于B,C两点,

2∴B(4,0),C(0,-2). 3

∵y=ax2-x+c经过点B,C,

2

???a=2,?16a-6+c=0,

?∴解得? ?c=-2.??

?c=-2.

13

∴y=x2-x-2.

22

13

(2)令x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=4.

22

∴OA=1,OB=4.∴AB=5.

∴AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,AB2=25.

∴AC2+BC2=AB2.

∴△ABC为直角三角形.

(3)连接CD,BD,过点P作PE⊥AB,垂足为点E,直线EP交线段BC于点D. 设直线BC的解析式为y=kx+b. ∵将B(4,0),C(0,-2)代入,得

1

???k=2,?b=-2,

?解得? ?4k+b=0.??

?b=-2.

1

∴直线BC的解析式为y=x-2.

2

113

设点D(a,a-2),则点P(a,a2-a-2).

222

1311

∵PD=PE-DE=-a2+a+2+(a-2)=-a2+2a,

2222∴当a=2时,PD有最大值,PD的最大值为2.

1111

∵S四边形ACPB=S△ACB+S△CBP=AB·OC+OB·DP=×5×2+×4·DP=5+2PD.

2222∴当PD最大时,四边形ACPB的面积最大.

∴当点P的坐标为(2,-3)时,四边形ACPB的面积的最大值为5+2×2=9.

3.(2015·攀枝花)如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与抛物线交于点P,与直线BC相交于点M,连接PB.

1

(1)求抛物线的解析式;

(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得△BCD的面积最大?若存在,求出点D坐标及△BCD面积的最大值;若不存在,请说明理由;

(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)把A,B两点坐标代入抛物线解析式,得

???-1-b+c=0,?b=2,?解得? ???-9+3b+c=0.?c=3.

∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.

(2)设D(t,-t2+2t+3),过点D作DH⊥x轴于点H,连接DC,DB. 令x=0,则y=3,∴C(0,3). S△BCD=S梯形DCOH+S△BDH-S△BOC

111

=(-t2+2t+3+3)t+(3-t)(-t2+2t+3)-×3×3 22239=-t2+t. 223

∵-<0,

2

331527

∴当t=-=时,即点D坐标为(,)时,S△BCD有最大值,且最大面积为.

32248

2×(-)

2(3)存在.

∵P(1,4),过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一, ∵直线BC解析式为为y=-x+3, ∴过点P且与BC平行的直线为y=-x+5.

??x=2,?y=-x+5,

?由?解得∴Q1(2,3). 2

?y=-x+2x+3,??y=3.

9

2

∵直线PM的解析式为x=1,直线BC的解析式y=-x+3, ∴M(1,2).

设PM与x轴交于点E,∵PM=EM=2,

∴过点E且与BC平行的直线为y=-x+1.

从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一.

?y=-x+1,联立? 2

y=-x+2x+3,?

3+173-17?x=,?x=,??22解得? ?1+171-17

??y=-2,??y=-2.1

2

1

2

3+171+173-171-17∴Q2(,-),Q3(,-).

2222

3+171+173-171-17

∴满足条件的Q点坐标为(2,3),(,-)或(,-).

2222

类型2 探究线段的数量关系及最值问题

12

4.(2016·成都青羊区二诊改编)已知抛物线y=x2+(-1)x-2(a>0)与x轴交于A,B两点,与y轴相交于点C,

aa且点A在点B的左侧.

(1)若抛物线过点D(2,-2),求实数a的值;

(2)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点E,使AE+CE最小,求出点E的坐标.

解:(1)∵抛物线过点D(2,-2), 12

∴×4+(-1)×2-2=-2, aa解得a=4.

(2)∵点A,B是抛物线与x轴的交点,

∴点B是点A关于抛物线对称轴的对称点.

∴连接BC交对称轴于点E,则点E即为使AE+CE最小的点. 11

∵a=4,∴抛物线解析式为y=x2-x-2.

4211

令y=0,则x2-x-2=0,解得x1=-2,x2=4.

42令x=0,则y=-2.

∴A(-2,0),B(4,0),C(0,-2),对称轴为直线x=1. 1

∴直线BC解析式为y=x-2.

23

∵当x=1时,y=-,

23

∴E(1,-).

2

5.(2015·南充)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+1,0)(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为P,对称轴为l:x=1.

(1)求抛物线解析式;

(2)直线y=kx+2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1,y1),N(x2,y2)(x1

(3)首尾顺次连接点O,B,P,C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动,求L最小时点O,B移动后的坐标及L的最小值.

b

解:(1)由题意,得-=1,

2×(-1)

∴b=2.

∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+1,0), ∴-x2+bx+c=0的解为m-2和2m+1. ∴(m-2)+(2m+1)=b,(m-2)(2m+1)=-c. ∴m=1,c=3.

∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.

??y=kx+2,

(2)联立?得x2+(k-2)x-1=0. 2

??y=-x+2x+3

∴x1+x2=-(k-2),x1x2=-1,

∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(k-2)2+4.

∴当k=2时,(x1-x2)2的最小值为4,即|x1-x2|的最小值为2.

?x1+x2=0,?∴?解得x1=-1,x2=1,则y1=0,y2=4. ?x1x2=-1.?

∴当|x1-x2|最小时,抛物线与直线的交点为M(-1,0),N(1,4). (3)由(1)得O(0,0),B(3,0),P(1,4),C(0,3). ∵L=OB+BP+PC+CO,

又∵线段OB平移过程中,OB,PC的长度不变, ∴要使L最小,只需BP+CO最短.

如图,平移线段OC到BC′,四边形OBC′C是矩形.∴C′(3,3).

作点P关于x轴(或OB)的对称点P′(1,-4),连接C′P′与x轴交于点B′. 设C′P′解析式为y=ax+n.

??a+n=-4,∴? ?3a+n=3.?

?a=2,解得?

15

?n=-2.715∴y=x-.

22

1515

当y=0时,x=,∴B′(,0).

77

1566

又3-=,故点B向左平移个单位,平移到B′.

77766

同时,点O向左平移个单位,平移到O′(-,0),

776

即线段OB向左平移个单位时,周长L最短.

7

此时,线段BP,CO之和最短为P′C′=72+22=53,O′B′=OB=3,CP=2. 6615

∴当线段OB向左平移个单位,即点O平移到O′(-,0),点B平移到B′(,0)时,周长L最短为53+2+3.

777

7