换元法求三角函数的值域(最值)的策略

(1)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

(2)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

π11

－，m?的值域为?－，2?，则实数m1．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－，x∈??2??2?2的取值范围是( )

π

－，0? A.??3?ππ－，? C.??36?

π

－，0? B.??6?ππ－，? D．??63?π1

－，m?，则函数f(x)可转化为g(t)＝－10t2－10t－＝－解析：选B.记t＝sin x，x∈??2?21

t＋?＋2. 10??2?1因为函数的最大值为2，显然此时t＝－.

21

令g(t)＝－，得t＝－1或t＝0，

2

ππ1

－，m?，当x＝－时，t＝－1，g(－1)＝－，结合g(t)的图象及函数的由题意知x∈??2?2211

－，2?，可得－≤sin m≤0， 值域为??2?2

π

解得－≤m≤0.故选B.

6

2．函数y＝(4－3sin x)(4－3cos x)的最小值为 ．

解析：y＝16－12(sin x＋cos x)＋9sin xcos x，令t＝sin x＋cos x，则t∈[－2，2]，且t2－1

sin xcos x＝，

2

t2－11

所以y＝16－12t＋9×＝(9t2－24t＋23)．

2247

故当t＝时，ymin＝.

327

答案： 2

2

[基础题组练]

1．函数y＝|cos x|的一个单调增区间是( )

ππ

A．[－，]

223π

C．[π，]

2

B．[0，π] 3π

D．[，2π]

2

解析：选D.将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.

2．当x∈[0，2π]，则y＝tan x＋－cos x的定义域为( ) π

0，? A.??2?3ππ，? C.?2??

tan x≥0，

π?

B.??2，π? 3π

，2π? D．?2??

??－cos x≥0，

3π

π，?.故选C. 解析：选C.法一：由题意得?x∈[0，2π]，所以函数y的定义域为?2??

π?x≠kπ＋?2，k∈Z，

5π

法二：当x＝π时，函数有意义，排除A，D；当x＝时，函数有意义，排除B.故选

4C.

1

3．函数f(x)＝cos 2x＋3sin xcos x．则下列表述正确的是( )

2ππ

－，－?上单调递减 A．f(x)在?6??3ππ?B．f(x)在??6，3?上单调递增

π

－，0?上单调递减 C．f(x)在??6?π

0，?上单调递增 D．f(x)在??6?πππ13π

2x＋?，由2x＋∈?－＋2kπ，＋2kπ?，k∈解析：选D.f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin?6?2??226?2ππππππ

－＋kπ，＋kπ?，k∈Z，当k＝0时，x∈?－，?，所以函数f(x)在?－，?Z，解得x∈?6?3??36??36?上单调递增，故选D.

π

x＋?，则( ) 4．已知函数f(x)＝cos2x＋sin2??6?A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最小正周期为2π 1

C．f(x)的最大值为

21

D．f(x)的最小值为－ 2

?2x＋π?1－cos1＋cos 2x3?11?ππ11

cos 2xcos－sin 2xsin?解析：选A.f(x)＝＋＝＋cos 2x＋－?33?222222?

π13111

2x＋?＋1，则f(x)的最小正周期为π，最小值为－＋1＝，＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin?6?442?2213

最大值为＋1＝.

22

5．(2020·福州市第一学期抽测)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是( )

πA. 43πC. 8

πB. 2D．π

解析：选C.由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝

πππππ3π

2x－?，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，2sin?4??24288π3ππ3π

－，?上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调当k＝0时，－≤x≤，即函数f(x)在??88?883π3π

递增，所以0＜m≤，即m的最大值为，故选C.

88

ππ－? sin?－?. 6．比较大小：sin??18??10?