用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解．

角度四 利用三角函数的单调性求值域(最值)

π

2x－?在区间 (1)函数f(x)＝3sin?6??

?0，π?上的值域为( )

?2?33－，? A.??22?3333?C.?－ ?2，2?

3

－，3? B.??2?33?D．?－

?2，3?

(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为 ． ππ5ππ

0，?时，2x－∈?－，?， 【解析】 (1)当x∈??2?6?66?π1

2x－?∈?－，1?， sin?6??2??π3

2x－?∈?－，3?， 故3sin?6??2??3

－，3?. 即此时函数f(x)的值域是??2?

1－t2

(2)设t＝sin x－cos x，则－2≤t≤2，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，则sin xcos x＝，

2t211

所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.

222

1

当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－－2.

21

所以函数y的值域为[－－2，1]．

2

1

【答案】 (1)B (2)[－－2，1]

2

三角函数值域的求法

(1)利用y＝sin x和y＝cos x的值域直接求．

(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的形式求值域．

(3)把sin x或cos x看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域． (4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系将原函数转换成二次函数求值域．

xπ?1．(2020·广东省七校联考)函数f(x)＝tan??2－6?的单调递增区间是( ) 2π4π

2kπ－，2kπ＋?，k∈Z A.?33??

2π4π

2kπ－，2kπ＋?，k∈Z B.?33??

2π4π

4kπ－，4kπ＋?，k∈Z C.?33??

2π4π

4kπ－，4kπ＋?，k∈Z D.?33??

πxππ2π4π

解析：选B.由－＋kπ＜－＜＋kπ，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，所以函

226233xπ?2π4π

－的单调递增区间是?2kπ－，2kπ＋?，k∈Z，故选B. 数f(x)＝tan?33??26??

3?0，π??的最大值是 ． 2．函数f(x)＝sin2x＋3cos x－?x∈

4??2??解析：f(x)＝sin2x＋1]，当cos x＝

答案：1

ππ

x＋?－2在区间?，a?上单调，3．(2020·河北省中原名校联盟联考)若函数f(x)＝3sin??10??2?则实数a的最大值是 ．

ππ3π2π7π

解析：法一：令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，所

2102552π7π?7π，上单调递减，所以a的最大值为. 以函数f(x)在区间??55?5

πππππ

法二：因为≤x≤a，所以＋≤x＋≤a＋，

22101010π?

而f(x)在??2，a?上单调， π3π7π所以a＋≤，即a≤，

10257π

所以a的最大值为.

57π答案： 5

333?2?2

3cos x－＝1－cosx＋3cos x－＝－cos x－＋1，cos x∈[0，

442??

3

时，f(x)取得最大值1. 2

思想方法系列6 换元法求三角函数的最值(值域)

(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝

3π

2x＋?－3cos x的最小值为 ． sin?2??

【解析】 f(x)＝sin(2x＋

2

3π

)－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝1－2cos2x－3cos x＝－2

317

cos x＋?＋，因为cos x∈[－1，1]，所以当cos x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－4. 2?4??8

【答案】 －4