第4讲 三角函数的图象与性质

一、知识梳理

1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 值域 R [－1，1] 最大值1，当且 仅当x＝2kπ 函数的 最值 π＋，k∈Z； 2最小值－1，当 且仅当x＝ π2kπ－，k∈Z 2π增区间[k·2π－，k·2π＋2π](k∈Z)； 2π减区间[k·2π＋，k·2π＋23π](k∈Z) 2奇偶性 周期性 对称 中心 对称轴 零点 奇函数 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π (kπ，0)，k∈Z πx＝kπ＋，k∈Z 2kπ，k∈Z 增区间[k·2π－π，k·2π](k∈Z)； 减区间[k·2π，k·2π＋π](k∈Z) 最大值1，当且 仅当x＝2kπ， k∈Z； 最小值－1，当且 仅当x＝2kπ－π， k∈Z R [－1，1] π{x|x≠kπ＋，k∈Z} 2R 无最大值和最小值 单调性 π增区间(k·π－，k·π2π＋)(k∈Z) 2偶函数 周期为2kπ，k≠0，k奇函数 周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π ∈Z，最小正周期为π 对称性 ?kπ＋π，0?，k∈Z 2??x＝kπ，k∈Z πkπ＋，k∈Z 2?kπ，0?，k∈Z ?2?无对称轴 kπ，k∈Z 2.周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数y＝Asin(ωx2ππ＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝.

|ω||ω|

常用结论

1．函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)．

ππ

kπ－，kπ＋?(k∈Z)2．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间?22??内为增函数．

二、习题改编

1．(必修4P46A组T2，3改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )

A．T＝π，A＝1 C．T＝π，A＝2 答案：A

2．(必修4P45练习T3改编)函数y＝tan 2x的定义域是( ) π??

x≠kx＋，k∈Z? A.?x?4???kππ??x≠＋，k∈Z? B.?x??28

??

??

B．T＝2π，A＝1 D．T＝2π，A＝2

π??x≠kπ＋，k∈Z? C.?x?8?kππ??x≠＋，k∈Z? D.?x?24???答案：D

π

x＋?的最大值为 ，3．(必修4P38例3改编)函数y＝3－2cos?此时x＝ ． ?4?答案：5

3π

＋2kπ(k∈Z) 4

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数．( ) (2)若y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.( )

(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．((4)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋π

2(k∈Z)．( )

(5)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、易错纠偏

常见误区(1)忽视y＝Asin x(或y＝Acos x)中A对函数单调性的影响； (2)忽视正、余弦函数的有界性； (3)不注意正切函数的定义域．

1．函数y＝1－2cos x的单调递减区间是 ． 答案：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)

2．函数y＝－cos2x＋3cos x－1的最大值为 ． 答案：1

3．函数y＝cos xtan x的值域是 答案：(－1，1)

第1课时 三角函数的图象与性质(一)

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