预备数学第一学期

第一章：数的整除（编写：熊文君）

1.1 整数和整除的意义

一、知识点整理：

1、自然数：零和正整数统称为自然数；

2、整数：正整数、零和负整数，统称为整数； 3、整除：

（1）概念：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，

我们就说a能被b整除；或者说b能整除a。

（2）条件：1）除数、被除数都是整数；

2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

二、方法指点： 整除和除尽 1、区别：

整除 除尽 被除数和除数 都是整数，除数不等于0 不一定是整数，除数不等于0 商 商是整数，余数为 0 商是整数或有限小数，余数为0 2、说明：凡是整除的一定能除尽，但除尽的不一定能整除；除尽包含整除，整除是除尽的 一种特殊情况。

三、典型例题：

1、是否有最大的正整数、负整数、自然数？是否有最小的正整数、负整数、自然数？如果有，是几？

分析：正整数、负整数、自然数都有无数个，正整数从1开始逐渐增大，自然数从0开始逐渐增大，负整数从-1开始逐渐减小。

解：没有最大的正整数、最大的自然数及最小的负整数；最大的负整数是-1，最小的正整数是1，最小的自然数是0。

四、基础型作业： （一）判断题：

1、0是最小的自然数。 （ ） 2、正整数是自然数。 （ ） 3、一个整数不是正整数，就是负整数。 （ ） 4、整数a除以整数b，商是整数，那么a就能被b整除。 （ ） 5、a除以b，商是整数，除数是零，那么a就能被b整除。 （ ） （二）填空题：

1、将下列各数填入相应的位置：

?3,0,27,8.5,34,0.6,125,?1.8,1,?97

自然数：

负整数：

整数： 正整数：

2、把下面的算式填入适当的圈内：

30?6； 120?5； 75?6； 2?6； 8?16； 48?12； 1.5?3； 9?0.25。

被除数能被除数整除的 能够除尽的

五、提高型作业：

1、 三个连续的自然数之和是54，则这三个数分别是多少？

2、“如果两个数都能被同一个数整数，那么它们的和与差一定能被这个数整除。”先判断这种说法的正误。如果上述说法正确请简单说理；如果错误请举例说明。

3、“如果两个数都能不被同一个数整除，那么它们的和与差一定不能被这个数整除。”先判断这种说法的正误。如果上述说法正确请简单说理；如果错误请举例说明。

六、拓展型作业：

有3个自然数，其和是37，而且分别填入下式中的3个括号中，满足等式要求：

???1????2????4

1.2 因数和倍数

一、知识点整理：

1、因数：整数a能被整数b整除，b就叫做a的因数（也称为约数）； 2、倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数。

3、注：（1）因数和倍数是相互依存的；

（2）一个整数的因数有有限个，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身； 一个整数的倍数有无限个，没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身。

二、方法指点：

1、求整数a的因数的方法：

（1）“试商法”：即用a去除以某个整数，若所得的商是整数，则该数便是a的一个因数。

一般采用从小至大试商法。如：8?1?8，8?2?4，8?4?2，

8?8?1，所以，8的因数有1，2，4，8。

（2）利用积与因数的关系一对一对找。如8?1?8?2?4，所以8的因数有1，2，4，8。 2、求整数a的倍数的方法：

通常把整数a这个数分别乘以正整数1，2，3，4，5，?，所得的积都是a的倍数。由于自然数是无限的，所以一个整数的倍数也是无限的。要用省略号表示其余的倍数。实际上2的倍数也可以表示为2n。

三、典型例题：

1、100以内7的倍数有多少个？

分析：一个整数的倍数的个数是无限的，其中最小的一个是它本身。另外，求规定范围

内的倍数的个数，还可以用除法来解决。 解：100?7?14??2，所以，100以内7的倍数有14个。

四、基础型作业：

（一）判断题：

1、15的倍数一定大于15。 （ ） 2、因为a?b?2（a、b都是正整数），所以说a是倍数，b是因数。 （ ） 3、一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大。 （ ） 4、一个正整数的倍数一定能被它的因数整除。 （ ） 5、一个正整数的因数至少有两个。 （ ） 6、甲数的最大因数正好等于乙数的最小倍数，则甲数一定大于乙数。 （ ） （二）填空题：

1、把下面各数填入适当的圈内：

1，2，3，4，5，6，12，16，18，24，27，45，81

72的因数 9的倍数

2、填空：

（1）如果6?2?3，我们说______能被______整除，或者说______能整除______；

也可以说______是______的倍数，______是______的因数。

（2）28的因数有______；28的倍数（120以内）有______个。

（3）一个自然数既是18的倍数，又是18的因数，这个数是______。

（4）一个数的最小倍数是54，这个数的所有因数是________________________。

五、提高型作业：

2、 在24的因数中，是3的倍数的数的和是多少？

2、100以内既不是3的倍数，又不是7的倍数的数有多少个？

3、辅导员带领36名学生参加夏令营。为了便于活动，将这36名学生分成若干个人数相等的小组，要求每个小组不少于5人，应当如何分组呢？

六、拓展型作业：

已知数a?2?2?3?5，那么a的全部因数有多少个？这些因数的和是多少？