三.简答题（共30分，每小题5分）

1.说明力线的微分方程式并给出其在直角坐标系下的形式。 2.说明矢量场的环量和旋度。

3.写出安培力定律和毕奥－沙伐定律的表达式。 4.说明静电场中的电位函数，并写出其定义式。

5.写出真空中磁场的两个基本方程的积分形式和微分形式。 6.说明矢量磁位和库仑规范。

四.计算题（共30分，每小题10分）

1.已知求

2.自由空间一无限长均匀带电直线，其线电荷密度为，求直线外一点的电场强度。

3.半径为a的带电导体球，已知球体电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电位函数。

《电磁场与电磁波》试题（1）参考答案

二、简答题 （每小题5分，共20分）

11．答：意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分）

????B??dS （2分） 其积分形式为：?E?dl????tCS12．答：在静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一定理称为唯一性定理。 （3分）

它的意义：给出了定解的充要条件：既满足方程又满足边界条件的解是正确的。 13．答：电磁波包络或能量的传播速度称为群速。 （3分）

群速vg与相速vp的关系式为： vg?vp???D14．答：位移电流：Jd? 位移电流产生磁效应代表了变化的电场能够产生磁场，使麦克斯韦能够

?t预言电磁场以波的形式传播，为现代通信打下理论基础。

?dvp1?vpd? （2分）

三、计算题 （每小题10 分，共30分）

15．按要求完成下列题目

?2?x?xze?y是否是某区域的磁通量密度？ （1）判断矢量函数B??ye（2）如果是，求相应的电流分布。 解：（1）根据散度的表达式

??Bx?By?Bz?? ??B??x?y?z （3分）

?将矢量函数B代入，显然有

???B?0 （1分）

故：该矢量函数为某区域的磁通量密度。 （1分） （2）电流分布为：

J??1???B?（2分）0e?xe?e? ???y?z?x?y?z（2分） ?y2xz0?1???xe?x??2y?z?e?z?（1分）016．矢量

A??2?ex?e?y?3e?z，B??5e?x?3e?y?e?z，求 （1）A??B? （2）A??B?

解：（1）A??B??7?ex?2e?y?4e?z （5分） （2）A??B??10?3?3?10 （5分）

17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为

E???e?x3E0?e?y4E?jkz0?e （5） 试写出其时间表达式； （6） 说明电磁波的传播方向；

解：（1）该电场的时间表达式为：

E??z,t??Re?E?ej?t? E??z,t???e?x3E0?e?y4E0?cos??t?kz? （2）由于相位因子为e?jkz，其等相位面在xoy平面，传播方向为z轴方向。四、应用题 （每小题 10分，共30分）

18．均匀带电导体球，半径为a，带电量为Q。试求

（3分）

（2分）5分）

（（3） 球内任一点的电场 （4） 球外任一点的电位移矢量

解：（1）导体内部没有电荷分布，电荷均匀分布在导体表面，由高斯定理可知在球内处处有：

??D??dS?0 （3分）

S故球内任意一点的电位移矢量均为零，即 （1分）

?E?0r?a （1分）

（2）由于电荷均匀分布在r?a的导体球面上，故在r?a的球面上的电位移矢量的大小处处相等，方

??r，由高斯定理有 向为径向，即D?D0e???D?dS?Q （3分）

S即 4?r2D0?Q （1分）

?Q?r??e整理可得：D?D0e2r4?rr?a （1分）

19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示），求 （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）； （2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 解：建立如图坐标

（1） 通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即为

（5分）

（2） 在xoz平面上离直导线距离为x处的磁感应强度可由下式求出：

?ye方向。

??B??dl??0I （3分）

c??I?y0 （1分） 即： B?e2?x通过矩形回路中的磁通量

??d?b????B?dS???S?0I?0Iaddxdz?ln?2?x2?d?bx?dz??a/2a/2 （1分）

无穷远

zx图1 图2

20．解：（1）由于所求区域无源，电位函数必然满足拉普拉斯方程。 设：电位函数为??x,y?，则其满足的方程为：

?2??2????x,y??2?2?0 （3分）

?x?y2（2）利用分离变量法： ??x,y??f?x?g?y?

d2f?kx2f?02dxd2g2?kg?0 （2分） y2dy2kx2?ky?0根据边界条件?x?0??x?a???y????0，??x,y?的通解可写为：

n?y?n???a??x,y???Ansin?x?ea??n?1

（1分）

再由边界条件：

?

y?0?n????Ansin?x??U0?a?n?1?

求得

An An?2U0?1?cosnπ? （1分） n??2U0n?槽内的电位分布为 ??x,y????1?cosnπ?sin??n??an?1五、综合题 （ 10 分）

??x?ea?n?y

?1??ez?E （2分） (7) 21．解：（1）H??0