（精品）三垂线法求二面角专题

1、（本小题满分13分）如图，已知DA⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，

在△ABE中，AE=1，BE=3。 （Ⅰ）证明：平面ADE⊥平面BCE； （Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小； 解：（Ⅰ）DA⊥平面ABE， ∴DA⊥BE

△ABE中，AE=1 BE=3 AB=2 ∴BE⊥EA

?BE?平面ADE???平面ADE⊥平面BCE

BE?平面BCE?

（注：此题也可证明AE?面BCE，AE?面ADE，从而平面ADE⊥平面BCE） （Ⅱ）过点E作EF⊥AB与F

∵DA⊥平面ABE∴平面ABCD⊥平面ABE

∴EF⊥平面ABCD过F作FG⊥AC与G，连EG，则EG⊥AC （三垂线定理） ∴∠EGF为二面角B—AC—E的平面角。

?EGF?在Rt△EFG中 tanEF?6,??EGF?arctan6 GF77（注：此题答案还可写成arcsin42或者是写成arccos7）

2、（12分）如图：已知四棱锥P?ABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。

（1）求证：平面EDB⊥平面PBC；

（2）求二面角B?DE?C的平面角的正切值。 【解析】（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。

首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，DE?PC，那么我们自然想到：是否有DE?面PBC？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。

∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，

∴ DE在平面ABCD内的射影就是DC。 在正方形ABCD中，DC⊥CB， ∴ DE⊥CB。

又PC?BC?C，PC、BC?面PBC， ∴ DE⊥面PBC。 又DE?面EDB，

∴ 平面EDB⊥平面PBC。

（2）由（1）的证明可知：DE⊥面PBC。所以，?BEC就是二面角B?DE?C的平面角。 ∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC， 又平面ABCD内的直线CB⊥ DC。 ∴ CB⊥面PDC。

又PC?面PDC， ∴ CB⊥PC。

在Rt?ECB中，3、（12分）一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角.

（1）求证：平面ABD⊥平面ACD； （2）求二面角A—BD—C的大小.

解析：（1）证明：取BC中点E，连结 AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC ∵平面ABC⊥平面BCD， ∴AE⊥平面BCD，

∵BC⊥CD，由三垂线定理知AB⊥CD. 又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面BCD，

∵AB?平面ABD.∴平面ABD⊥平面ACD. （2）解：∵AE⊥面BCD，过E作EG⊥BD于 G，连结AG，由三垂线定理知AG⊥BD，

∴∠AGE为二面角A—BD—C的平面角

tan?BEC?BC?2CE。

22∵∠EBG=30°，BE=2m，∴EG=4m

AE2又AE=2m，∴tanAGE=GE=2，∴∠AGE=arctan2. 即二面角A—BD—C的大小为arctan2.