?22935??9353??3?
，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增．所以所以f(x)在?，?上单调递增，在?
?15633??6332??2?
f(x)min＝f??＝1.
解法2 由f(x)＝x3－x2， 得f′(x)＝3x2－2x.
令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)， 故g(x)＝(x－x0)2(x＋2x0－1)． 1
当x0≥时，g(x)≥0，
23159令x0＝，则x3－x2≥x－；
242
111令x0＝，则x3－x2≥－x，即y3－y2≥－y，
24419
所以x3＋y3－x2－y2≥(15x－y)－＝1.
42
11113
解法3 因为y3－y2＋y＝y(4y2－4y＋1)＝y(2y－1)2≥0.当y＝时，x＝.
44422132
所以y－y≥－y ①.
4令u＝x3－x2，则u′＝3x2－2x.
315?39?当x＝时，u′＝，u＝x3－x2过点?，?.
24?28?切线为y＝
3?915?159
?x－?＋，即y＝x－，
2?84?42159
x－ ②. 42
159
x＋， 42154
??
5??2??
3?2?
?3??2?
即证x3－x2≥
令h(x)＝x3－x2－
h′(x)＝3x2－2x－＝?3x＋??x－?. 3
令h′(x)＝0得x＝.
2
3159
当x＝时，h(x)min＝0，所以x3－x2≥x－(x＞0)恒成立，
242
①＋②得x3＋y3－x2－y2≥
15x－y922911－9
－＝－＝＝1. 42422
22
，y＞0， 15
解法4 由题意y＝15x－22＞0，则x＞
11
又x3＋y3－x2－y2＝(x3－x2)＋(y3－y2)，其中y3－y2≥－y，当且仅当y＝时取等号．
4233
那么，当x＝时，f(x)＝x3－x2在x＝处的导数为k＝
22
3x2－2xx＝
3
2
＝
15. 4
x3－x2≥x－等价于?x－?2(x＋2)≥0，此式成立．
y15931
因此有(x3－x2)＋(y3－y2)≥－＋x－＝1，当且仅当x＝，y＝时取等号．
44222
919191
解法5 x3＋y3－x2－y2＝x3＋x＋y3＋y－x2－y2－x－y≥3x2＋y2－x2－y2－x－y＝2x2＋
44444499191511815x－y－1831?3?91
2×??2－x－y－≥6x－x－y－＝x－y－＝＝1，当且仅当x＝，y＝时2442444422?2?44等号成立．
解后反思 本题考查代数推理与等价转化的数学思想方法，能力要求高，运算较繁．如何找到解决问题的突破口是关键．我们可以这样思考，从条件正数x，y满足15x－y＝22出发，可以发现x＞1，将x3＋y3－x2－y2写成x2(x－1)＋y2(y－1)，如果y＞1，那么x3＋y3－x2－y2不可13
能有最小值，因此估计0＜y＜1，从二分法的角度思考，猜想y＝，代入条件可得x＝，此时22可以猜得其最小值为1，下面再用基本不等式的方法加以证明．
【变式5】、(2016泰州期末）若正实数x，y满足(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，则x＋值为________． 32
【答案】－1
2
【解析】、思路分析 处理双元最值问题，常用消元法或整体法，也可以构建方程转化为方程有解去处理．如本题，思考方向一，可以设x＋
122
＝z，代入之后转化为关于y的方程(4z－5)y2y1
的最大2y15492
??3?2?
－8(z－1)y＋8＝0在(2，＋∞)上应有解，由Δ≥0解出z的范围，并验证最大值成立；思考1??2??
方向二，消去x再用均值不等式去处理；思考方向三，观察得到?2x－?2＋?＋2?2＝9，直接通
y??y??
过均值不等式整体去处理；思考方向四，通过等比中项，引用一个新的参数q，把x＋表示再整理求最值．
1
用q来2y1
解法1 令x＋＝z，则2xy＝2yz－1，代入(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)整理得(4z2－5)y2
2y－8(z－1)y＋8＝0 (*)，由题意得y－2≥0，该方程在[2，＋∞)应有解，故Δ≥0，即64(z－1)2－32(4z2－5)≥0，化简得2z2＋4z－7≤0, 故0 检验：当z＝此时y1＋y2＝ 32 . 2 32 －1时，方程(*)可化为(17 －122)y2－(122－16)y＋8＝0， 2 122－1681 >0，y1·y2＝>4，故方程必有大于2的实根，所以x＋的2y17－12217－122 最大值为 32 －1. 2 2??2?1? ?5＋??1－?＋ y??y?y? ，2 1??2??2?? 解法2 (2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，即?2x－?2＝?5＋??1－?，则x＝ y??y??y??所以 x＋＝ 2y2 ＝ 11 2??2?1? ?5＋??1－?＋ y??y?y? ?1?29?1? －?＋1?＋＋?＋1?－1 ?y?4?y???1?29?1?2?2?－?＋1?＋＋?＋1??－1 ?4?y????y ≤ ＝ 32 －1， 2 4132?1?291 －?＋1?＋＝＋1，即y＝>2时等号成立，所以x＋的最大值为2y2?y?4y32－4 当且仅当 －1. 1?2?2??2?? 解法3 由(2xy－1)＝(5y＋2)(y－2)得?2x－?＝?5＋??1－?， y??y??y?? 2 1?21?2?2?2??2?2? 即?2x－?＝9－?＋2?，即?2x－?＋?＋2?＝9， y?y??y???y?? 1??2?112132? 所以9＝?2x－?2＋?＋2?2≥2x－＋＋22，所以x＋≤－1. y??y?2yy2y2? 1??51??11?11151? 解法4 (2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)即?x－?2＝?＋??－?，所以－，x－，＋成等 2y??2y??2y?2y2y2y?1 比数列，设公比为q(q>1)，将x，用q表示， y13q－ 则x＋＝2yq2＋11 ＋＝2 3 q－＋ 2 ＋2q－1 1322＋≤－1，当且仅当q－1＝，即q22q－1 ＝2＋1时等号成立． 解后反思 处理此类双元最值问题，要有方程、减元和整体意识，要多观察题中给出式子的结构特点及条件与所求的联系，要带着方向和目标去解题，并能熟练掌握和运用不等式链：ab≤ a＋b2 ≤ a2＋b2 2 ?a＋b?2a＋b?≤(a，b>0)和ab≤?(a，b∈R). 2?2? 2 22 2 x－2y【变式6】、(2016南京三模） 若实数x，y满足2x＋xy－y＝1，则2的最大值为5x－2xy＋2y2________． 【答案】 2 4 【解析】、思路分析 在2x2＋xy－y2＝1中，独立变量有两个，因为用x表示y或用y表示x均不方便，可引入第三个变量来表示x，y. 111 由2x2＋xy－y2＝1，得(2x－y)(x＋y)＝1，设2x－y＝t，x＋y＝，其中t≠0.则x＝t＋，t33t21111x－2yuy＝－t，从而x－2y＝t－，5x2－2xy＋2y2＝t2＋2，记u＝t－，则2＝2＝2 3t3ttt5x－2xy＋2yu＋212≤1 222 ＝，当且仅当u＝，即u＝2时取等号，即最大值为. u424 u＋ u2 u· ux－2y＝ 5x2－2xy＋2y2 思想根源 实质上，已知条件为(2x－y)(x＋y)＝1，而 x－y－x＋yx－y2＋x＋y 2.相当于：已知ab＝1，求 a－b的最大值． a2＋b2 【变式7】、（2016南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调） 设实数x，y满足－y2＝1，则3x2 4－2xy的最小值是________． x2