相似三角形拔高

热身练习．如图，已知△ABC是面积为3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，求△AEF的面积．

1.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为3?1时，求正方形的边长.

A D

N E M B C

2.如图，在Rt?ABC中，∠ACB= 90 ,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，

0EM?BD垂足为M，EN?CD垂足为N。

（1） 当AD=CD时，求证：DE∥AC；

（2） 探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

（3） 探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？

3.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论

是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成

立？通过观察你还能得出什么结论？

D A D A A D

G F G E E F E C C C B F B B 图① 图② 图③

4. 如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．

（1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．

（2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变

化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系． A

D

M C E N B

5．如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，设P、Q分别为BD、BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速运动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速运动，速度均为1cm/s，设运动时间为（ts）． (1)写出S△PBQ的值y与时间t(s)的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(2)y是否有最大值，如果有，请求出当t为何值时，y取得最大值；如果没有，请说明理由； (3)求当t为何值时，△PBQ为等腰三角形；

(4)是否存在t的值，使得△PBQ为等边三角形，若有，请求出t的值；若没有，请说明理由．

APCACAPNCPBQMDBMQ（图2）

DBQ（图3）

D（图1）