发现粒子几率最大的位置。**先求粒子的位置几率密度|?(x)|?222?xsin求最大位置：aa|?(x)|2?22?x2sin?aaa1?cos2?xa当cos2?x??1时|?(x)|2有最大值。在0?x?aa2范围内可得

2?x1??所以x?a。** a2（4431）?粒子在磁感应强度为B=0.025T的均匀磁场中沿半径R=0.83cm为的圆形轨道运动。（1）试计算其德布罗意波长。（2）若使质量m=0.1g的小球以与?粒子相同的速率运动，则其波长为多少？（?粒子的质量m??6.64?10?27kg，普朗克常量h?6.63?10基本电荷e?1.6?10?19?34J?s，

C）**（1）德布罗意公式：??h由题意可知?粒子受磁场力作mvm?v2,m?v?qRB另q=2e，m?v?2eRB故用作圆周运动。所以，qvB?R???h2eRB?1.00?10?2nm（2）由上一问可得v?对于质量为m的小球2eRBm???h?6.64?10?34m** mv（4432）说明德布罗意波长公式的意义；德布罗意的假设是在物理学的什么发展背景下提出来的？又最先被子什么实验所证实？**德布罗意波长的公式是

hhhv2????1?2其意义：一切以速度v运动的实物粒子（其静止质量为m0）

pmvm0vc都具有波动特性，其对应的波长由上式决定，此波称为德布罗意波。

由于光的干涉、衍射及偏振现象说明了光具有波动特性，而光电效应、热辐射现象又说明了光具有粒子特性，故光具有波粒两象性。德布罗意在光具有波粒二象性启发下，把光子和粒子（电子等）类同相比，在1924年大胆地提出实物粒子也具有波粒二象性，并且认为物质波与光波一样具有E?h?和p?h?的关系，从而得上述物质波波长公式。实物粒子的波动

性最先在1927年被戴维逊-革末所做的电子在晶体上的衍射实验所证实。**

（4434）在一维无限深势阱中运动的粒子，由于边界条件的限制，势阱宽度d必须等于德

n2h2布罗意半波长的整数倍。试利用这一条件导出能量量子化公式En?8md2n?1,2,3,???

n?2dp2?d，则有??[提示：非相对论动能和动量的关系EK?]**依题意。由于2n2mnhp2n2h2n2h2p?，则p??。故E?即En?2?2d2m8md8md2hn?1,2,3,???**

（4435）同时测量能量为1keV的作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1nm（1nm?10m）内，则动量的不确定值的百分比

?9?P至少为何值？（电子质量Pme?9.1?10?31kg，1eV?1.6?10?19J，普朗克常量h?6.63?10?34J?s）**1keV的电

子，其动量为p?2mEK?1.71?10?23kg?m?s?1据不确定关系式：?p?x??得

?p???p?0.106?10?23kg?m?s?1 [若不确定关系式写成?p??x?h，则?39%或?xp??p?3.1%，均可视为正确]** 则

2p?p??x?（4440）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是（A）康普顿实验。（B）卢瑟福实验。（C）戴维逊-革末实验。（D）斯特恩-盖拉赫实验**D**

（4441）氩（Z=18）原子基态的电子组态是：（A）1s22s83p8（B）1s22s82p63d8（C）

1s22s8p63s23p6（D）1s22s82p63s23p43d2**C**

（4442）光子的波长为??3000A，如果确定此波长的精确度

?????10?6，试求此光子位

置的不确定量。**光子动量p?h?，按题意，动量数值的不确定量为?p??h?2???h????根据测不准关系得：?x?h?2??p?2???故?x?0.048m**

?（4443）如图示，一束能量为h?0的光子流与静止质量为me的静止自由电子作弹性碰撞，

mec2(?0??)??若散射的光子的能量为h?，试证明散射角?满足下式sin**n0和n分?22h?0?别代表碰撞前后光子运动方向的单位矢量，设碰撞后电子沿?角方向飞出，它的能量和动量

2?分别变为mc和mv。因为光子与电子碰撞过程服从能量守恒定律和动量守恒定律，有

2?h?0?h??n0?n ② 由图可看出，②式也可写成h?0?mec?h??mc ① mv?cch?2h?0h?h?2(mv)2?(0)2?()2?co?s即m2v2c2?h2?0?h2?2?2h2?0?co?s

cccc③，①式也可写成：mc2?h(?0??)?mec2④，将④式平方减去③式得：

22?v22mc(1?2)?mec4?h2?0?(1?cos?)?2mec2h(?0??)根据相对论，上式中的

cv222m(1?2)?me，所以上式可改写为

c22mec4?mec4?2h2?0?(1?cos?)?2mec2h(?0??)

24由此可求得

?0??h(1?cos?)mec2(?0??)cch2?，即?。** c??(1?cos?)sin??0?mec??0mec22h?0?

（4444）质量为m的卫星，在半径为r的轨道上环绕地球运动，线速度为v，（1）假定玻尔氢原子理论中关于轨道角动量的条件对于地球卫星同样成立。证明地球卫星的轨道半径与量子数的平方成正比，即r?kn（式中k是比例常数）（2）应用（1）的结果求卫星轨道和它的下一个“容许”轨道间的距离。由此进一步说明在宏观问题中轨道半径实际上可认为是连续变化的（利用以下数据作估算：普朗克常量h?6.63?102J?s，地球质量

M?6?1024kg，地球半径R?6.4?106km，万有引力常数G?6.7?10?11Nm2/kg2）

?34GmMmv2GmMmv2?**（1）根据F?及F?（M为地球质量）得：。利用玻尔假22rrrrnh设：mvrn?，联立以上两式则得：

2?nh2]h2222?k?，令：，上式变为：得证。（2）由：可得：r?knr?knrn?nn2224?mMGGmM[rn?1?rn?(2n?1)k，估算k与n：设m>1kg，代入数据可得k?10?82m，而

rn?k?rn?2nk?2krn，

rn?k?rnk?2?0，即相邻两个轨道之间的距离与轨道半径rnrn相比可忽略不计，这表明轨道半径的“容许”值实际上可认为是连续变化的。**

（4445）质量为me的电子被子电势差为V的电场加速，如果考虑相对论效应，试证其德布罗意波波长为

??he2V22meeV?2c**??h如果考虑相对论效应，则有pp?mv?mevv21?2c ①，eV?mec2v21?2ch?mec2 ②，由①、②式计算得

e2V2p?2meeV?2，所以??c2meeV?eVc222**

（4448）设在碰撞中原子可交出其动能一半，如果要用加热的方式使基态氢原子大量激发，试估计至少要把它加热到多高温度？（玻尔兹曼常数k?1.38?10温度T时，氢原子的平均动能E??23J?K?1）**当加热到

3131kT，碰撞时可交出动能E?kT?，因此用加热22223kT1?E2?E1式中E1??13.6eV4的方式使之激发，则要求温度T1满足所以T1?1.6?105K。**

E2??3.4eV（4449）如果室温下（t?27C）中子的动能与同温度下理想气体分子的平均平动动能相同，则热中子的动能EK??，其德布罗意波波长???，试指出下面解答错误之外，并给

?3hchc?3?19予改正。解：EK?RT?3.7?10J由EK?h??可得???5.4?10A（中

2?EK?子质量m0?1.67?10?27kg普朗克常量h?6.63?10?34J?s玻尔兹曼常量

k?1.38?10?23J?K?1）**上述解题是错误的，因为

EK?3T2??3hhc?21改正EK?kT?6.21?10J，???0.146nm**

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