练 习 题
第一次作业
1、设A={x| x?R, |x|?5},B={x|x?R, -6?x<0}.求A?B，A?B，A?B，B?A。 2、设A，B是U的子集，规定A+B=(A?B)?(B?A)。证明： (1) A+B=B+A (2) A+?=A (3) A+A=?。
3、求下列集合的所有子集： (1) A={a, b, ?} (2) B={?} (3) C={1}
4、设f：A?B和g：B?C是映射，证明： (1) 如果f和g是单射，则gf是单射 (2) 如果f和g是满射，则gf是满射 (3) 如果gf是单射，则f是单射 (4) 如果gf是满射，则g是满射.
5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h: f: x?3x g: x?3x+1 h: x?3x+2 (1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh (2) 分别求f, g, h的一个左逆映射 (3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射
(4) 求f, g的一个共同的左逆映射，但不是h的左逆映射。 6、设R是实数集合，在R?R上规定二元关系“~”为：
（a, b）~ (c, d)?a+d=b+c
证明“~”是R上的一个等价关系。
7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关系R，使A在R下的分类恰为S。
8、设A={1，2，3，4}，在幂集2中规定二元关系“~”：
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A
S~T?S与T所含元素个数相同
证明“~”是2上的一个等价关系，并写出商集2/~。
第二次作业
1、设G={(a, b)| a, b?R, a?0}, 规定G中元素运算：
(a, b)(c, d)=(ac, bc+d)
证明：G是一个群，但不是交换群。
2、设G={a, b, c},G的乘法表如下：
a b c a a b c b a b c c a b c
证明：（G，?）是一个半群。
A
A
3、设G是群，证明：
(1) 如果G的每一个元素a的逆元还是a本身，则G是交换群，举例说
明反之不对。
(2) 如果G是非交换群，则存在元素a、b?G, a?b,并且它们均非单位
元，使得ab=ba.
4、在对称群S5中计算：
(1 2 4 3)(3 5 4), (2 1 4 3)(1 3 2 4), (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5) 5、设?=（1 2 3 4 5 6），计算?,?,?。
6、将对称群S8中如下元素表示成不相连的循环置换乘积和对换乘积
?1?2?3?12345678??? 57614823??7、设?,??Sn, 如果?=(i1 i2?is)，证明：
?
???1=(?(i1)?(i2)??(is))
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8、在S4中，求(1 2 4)生成的子群H的所有元素。
9、设G是群，C(G)={x| x?G, ?y?G, xy = yx}, 证明：C(G)是G的子群。
(称C(G)是群G的中心)。
10、设H={(1),(234),(243)}，证明：H是4次对称群S4的子群。H是否为
不变子群？
11、设A，B是群G的子群，证明AB是G的子群的充分且必要条件是AB=BA。
12、证明有理数加群Q关于Z的商群（环群。
13、设p, q是两个不同的素数，问：pq阶循环群的生成元有几个？求25
阶循环群的所有生成元。
14、设G=（R-{0}，?）,证明：f：G?G：x?x是群同态，但g：G?G：x?2x不是群同态。
15、设f：G?G?是群满同态，H是G的不变子群，并且Ker(f)?H, 证
明： f (H)是G?的不变子群，并且
2Q，+）的任意有限子群都是循ZGH?G?f(H)
16、设G和H都是有限群，|G|与|H|互素，证明G到H并且H到G的群
同态都是唯一的。 17、证明：Z6?Z2?Z3。
18、设A，B是群G的两个不变子群，并且G=AB，证明：
G(A?B)H?A(A?B)?B(A?B)
19、证明群G在左商集G即如果f：G?E(G最大不变子群。
上的作用的核是含在H中G的最大不变子群。
H) 使f(a)(xH)=axH, 则Ker(f)是含在H中的G的
20、设G是群，A是G的一个非空子集，记NG(A)={x | x?G, xA=Ax},证
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明：
(1) NG(A)是G的子群。
(2) 如果NG(A)=G，则A是G的不变子群吗？
第三次作业
1、 设R是交换环，证明：
(1) R中任意两个幂零元的和仍然是幂零元。 (2) R中任意元素与幂零元的乘积是幂零元。 (3) R中可逆元与幂零元的和是可逆元。
2、 设R是一个元素个数大于1的有限集，证明：关于数的加法和乘法，
R不能构成环。
3、 在Z6中计算下面两个多项式的加法运算和乘法运算：
f(x)=3x?4x?2, g(x)=2x?4x?5x?5 4、 求出Z4[x]中次数不超过2的所有可逆多项式。 5、 在环Z29中，求元素18。
6、 在整数环Z中，求生成元a, b使得=<24>+<36>, =<24>?<36>. 7、 设I1、I2、I3、?都是环R的理想，如果
?1232I1?I2?I3??
证明这些理想的并集
?Ik?1?k是R的理想。
8、 设f：R ?R?是环的满同态，证明：
(1) 如果R是交换环，则R?也是交换环。
(2) 举例说明：R?是交换环，但R未必是交换环。
9、 证明整数环Z到其自身的环同态只能是零同态或是恒等同态。 10、 设R是有单位元1的环，证明R[x]是多项式环R[x]的真子环（即
不等于R[x]的子环），并且有环同构：R[x]?R[x]。 11、 设Z[i]={a+bi | a, b?Z},i??1,证明：
(1) 按复数的通常运算，Z[i]是一个整环。（通常称Z[i]是高斯整环）
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222(2) 如果p是一个素数，证明
Z[i]?p??Z[x]?p,x2?1?。
12 、R是无单位元的环，A是R的理想，如果Z?R是R的有单位元的典
范扩张环，则0?A是Z?R的理想，并求商环Z?R0?A。
(1) 讨论有理数域Q上关于加法群的自同态环End(Q,?) 。 (2) 在有理系数多项式环Q[x]中，证明：
13、设p是素数，在偶数环2Z中，证明主理想<2p>是极大理想，但<2p>
是素理想的充分且必要条件：p是不等于2的素数。 14、 设R={a+3bi | a, b?Z},i??1
(1) 按通常数的运算，证明：R是整环。 (2) 求R的所有可逆元。
15、 高斯整环Z[i]中，证明3是素元，但2不是素元。
16、证明高斯整环Z[i]是欧氏环。 17、证明域都是欧氏环。
18、在高斯整环Z[i]中将元素15进行既约元因子分解。 19、将下列多项式分解为既约多项式的乘积：
(1) Z2[x]中多项式 x?1 (2) Z5[x]中多项式x?1
20、证明：按数的通常运算，Q[i]={a + bi | a, b?Q} 是一个域。(i??1)
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