新人教版九年级数学下册第26章反比例函数知识点归纳和典型例题

（一）知识结构

（二）学习目标

1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式

（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．

2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．

3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关

系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．

4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．

5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法． （三）重点难点

1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．

2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握． 二、基础知识

（一）反比例函数的概念

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为这一限制条件；

，

在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式

中的k，从而得到反比例函数的解析式；

3．反比例函数（二）反比例函数的图象

的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．

在用描点法画反比例函数称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质

的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对

1．函数解析式：（

）

2．自变量的取值范围： 3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当 当

时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

，

）

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（在双曲线的另一支上． 图象关于直线

对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（

，）

在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于

B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为

．

图1 图2 5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个

分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线 当

与双曲线的关系：

时，两图象必有两个交点，且这两

时，两图象没有交点；当

个交点关于原点成中心对称．

（3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法：

（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题． 三、例题分析

1☆．反比例函数的概念

（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）． A．y=3x B．

C．3xy=1 D．

（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．

A． B． C． D．

答案：（1）C；（2）A．

2．图象和性质

是反比例函数，

（1）已知函数

①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y随x的增大而减小，那么k=___________．

（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数第________象限．

的图象位于

（3）若反比例函数过第_____象限．

经过点（，2），则一次函数的图象一定不经

（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数 则直线

不经过的象限是（ ）．

的图象上，

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，