即???2，这说明，A1与A2间夹角为

??，即二振动的位相差为. 228-7 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：

????x?5cos(3t?)cmx?5cos(3t?)cm?1?133(1) ? (2)? 7?4??x2?5cos(3t??x2?5cos(3t?)cm)cm33??7??解： (1)∵ ????2??1???2?,

33∴合振幅 A?A1?A2?10cm

4??(2)∵ ??????,

33∴合振幅 A?0

8-8 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

??x?0.4cos(2t?)m?16 ?5?x2?0.3cos(2t??)m6?试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。

5?(??)?? 66∴ A合?A1?A2?0.1m

解：∵ ????5?Asin?1?A2sin?266?3 tan??1??5?A2cos?1?A2cos?230.4cos?0.3cos66?∴ ??

60.4?sin?0.3sin其振动方程为

?x?0.1cos(2t?)m

6(作图法略)

?习题九

9-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?

解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y?f(t)；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，又是时间t的函数，即y?f(x,t)． (2)在谐振动方程y?f(t)中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程y?f(x,t)中有两个独立变量，即坐标位置x和时间t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律．

精选

xy?Acos?(t?)u中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持当谐波方程

续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．

(3)振动曲线y?f(t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y，横轴为t；波动曲线y?f(x,t)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，

其纵轴为y，横轴为x．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图．

xxu)+?0］中的u表示什么?如果改写为y=Acos 9-2 波动方程y=Acos［?(

?x?xxt??t???0u)+?0］的值u()，u又是什么意思?如果t和x均增加，但相应的［?(

t?不变，由此能从波动方程说明什么?

?x解: 波动方程中的x/u表示了介质中坐标位置为x的质元的振动落后于原点的时间；u则

表示x处质元比原点落后的振动位相；设t时刻的波动方程为 则t??t时刻的波动方程为

yt?Acos(?t??xu??0)

yt??t?Acos[?(t??t)??(x??x)u??0]

)x?tx?u?ttu其表示在时刻，位置处的振动状态，经过后传播到处．所以在中，?x(?t?)u的值不会变化，而这正好说明了经过时间?t，波形即向前传当t，x均增加时，

?xy?Acos(?t???0)?x?u?tu播了的距离，说明描述的是一列行进中的波，故谓之行

波方程．

9-3 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?

(?t??x?解: 取驻波方程为，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，

描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律?．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两可表示为

波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反．

9-4 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(Bt?Cx)，其中A，B，

y?2Acos2?xcos??vt2Acos2?xC为正值恒量．求：

(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；

(2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程； (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程

y?Acos(Bt?Cx) (x?0)

精选

将上式与波动方程的标准形式

y?Acos(2??t?2?比较，可知： 波振幅为A，频率

x?

B2?，

)??2?Bu????C，波速C， 波长

12?T???B． 波动周期

(2)将x?l代入波动方程即可得到该点的振动方程 y?Acos(Bt?Cl)

(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为

2????(x2?x1)?? 将x2?x1?d，及

???2?C代入上式，即得

???Cd．

9-5 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10?t?4?x)，式中x,y以米计，t以秒计．求：

(1)波的波速、频率和波长；

(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；

(3)求x=0.2m处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式

?

?1?1相比，得振幅A?0.05m，频率??5s，波长??0.5m，波速u????2.5m?s．

(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为

y?Acos(2??t?2?x)vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1 amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2 (3)x?0.2m处的振动比原点落后的时间为 x0.2??0.08s u2.5t?1?0.08?0.92s时的位相，

故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0)，在0即 ??9.2π．

设这一位相所代表的运动状态在t?1.25s时刻到达x点，则

9-6一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0×10J·m·s，频

-1

率为300 Hz，波速为300m·s，求 ： (1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量?

x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825m

-3-2-1

精选

解: (1)∵ I?wu

I10?3w??18.0??6?10?5J?m?3 u300∴

wmax?2w?1.2?10?4 J?m?3

11uW??V?w?d2??w?d244? (2)

1300?6?10?5???(0.14)2??9.24?10?7J 4300??9-7 S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距4，S1较S2位相超前2，求： (1) S1外侧各点的合振幅和强度；

(2) S2外侧各点的合振幅和强度

解：（1）在S1外侧，距离S1为r1的点，S1S2传到该P点引起的位相差为

2????r?(r?)???11?2??4?

2A?A1?A1?0,I?A?0

（2）在S2外侧.距离S2为r1的点，S1S2传到该点引起的位相差.

?????2?4

2A?A1?A1?2A1,I?A2?4A1

9-8如题9-8图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方程为y1?2?10?3cos2?t;C点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程为y2?2?10?3cos(2?t??)，本题中y以m计，t以s计．设BP＝0.4m，CP＝0.5 m，波

-1

速u=0.2m·s，求：

(1)两波传到P点时的位相差；

(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅；

*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅． 解: (1)

?????2?(r2???r2)?0???(?2??1)?2??(CP?BP)

????u 2????(0.5?0.4)?00.2

(CP?BP)

题9-8图

(2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以

(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，

AP?A1?A2?4?10?3m

精选