2017-2018学年高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理( 下载本文

C.锐角三角形 答案 B

解析 由sin A=sin C,知a=c, ∴△ABC为等腰三角形.

D.钝角三角形

3.在△ABC中,已知BC=5,sin C=2sin A,则AB=________. 答案 25

解析 由正弦定理,得AB=

sin CBC=2BC=25. sin Aπ

4.在△ABC中,a=3,b=2,B=,则A=________.

4答案

π2π或 33

解析 由正弦定理,得sin A=asin B=b3·2

22

3, 2

π2π

又A∈(0,π),a>b,∴A>B,∴A=或. 33

1. 定理的表示形式:===2R,

sin Asin Bsin C或a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C(k>0). 2. 正弦定理的应用范围:

(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角.

3. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化:一方面可以化边为角,转化为三角函数问题来解决;另一方面,也可以化角为边,转化为代数问题来解决.

abc40分钟课时作业

一、选择题

1.在△ABC中,a=5,b=3,则sin A∶sin B的值是( ) 5335A. B. C. D. 3577答案 A

sin Aa5解析 根据正弦定理,得==.

sin Bb3

2.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是( )

5

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

答案 B

解析 由题意有absin A=b=sin B,则sin B=1,

又B∈(0,π),故角B为直角, 故△ABC是直角三角形.

3.在△ABC中,若sin Aa=cos Cc,则C的值为( )

A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 B

解析 ∵sin Acos Ca=c,

sin Acos C=ac, 又由正弦定理,得a=

sin Acsin C.

∴cos C=sin C,∴tan C=1, 又∵C∈(0°,180°), ∴C=45°,故选B.

4.在△ABC中,若A=105°,B=45°,b=22,则c等于( A.1 B.2 C.2 D.3 答案 B

解析 ∵A=105°,B=45°, ∴C=30°. 由正弦定理,得c=

bsin C22sin 30°

sin B=sin 45°

=2. 5.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B等于( ) A.-222266

3 B.3 C.-3 D.3 答案 D

解析 由正弦定理,得1510

sin 60°=sin B,

10×

3∴sin B=10sin 60°23

15=15=3

.

) 6

∵a>b,∴A>B,又∵A=60°,∴B为锐角. ∴cos B=1-sinB=

21-

33

2

6. 3

π

6.在△ABC中,已知A=,a=3,b=1,则c的值为( )

3A.1 B.2 C.3-1 D.3 答案 B

解析 由正弦定理=,

sin Asin B311

可得=,∴sin B=,

πsin B2sin

3由a>b,得A>B,∴B∈(0,

ππ),∴B=. 36

abπ

故C=,由勾股定理得c=2.

2

7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C等于( )

77724A. B.- C.± D. 25252525答案 A

解析 由正弦定理及8b=5c,得8sin B=5sin C, 又∵C=2B,

4∴8sin B=5sin 2B=10sin Bcos B,∴cos B=,

57?4?22

∴cos C=cos 2B=2cosB-1=2×??-1=. 25?5?二、填空题

ab2c8.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则++=

sin A2sin Bsin C________. 答案 7

解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R=2, ∴∴

===2R=2, sin Asin Bsin Caabcb2c++=2+1+4=7. sin A2sin Bsin C 7

9.在△ABC中,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=________. 答案 1∶1∶3

解析 根据三角形内角和定理,得

A=180°-30°-120°=30°,

由正弦定理,得

a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶3.

10.锐角三角形的内角分别是A、B、C,并且A>B.下列三个不等式中成立的是________. ①sin A>sin B; ②cos A

③sin A+sin B>cos A+cos B. 答案 ①②③

解析 A>B?a>b?sin A>sin B,故①成立. 函数y=cos x在区间[0,π]上是减函数, ∵A>B,∴cos Aπ2,∴A>π

2-B,

函数y=sin x在区间[0,π

2]上是增函数,

则有sin A>sin?

?π?2-B???

,即sin A>cos B,

同理sin B>cos A,故③成立. 三、解答题

11.已知在△ABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a、b和B. 解 ∵a=csin Asin C,

∴a=csin Asin C=10×sin 45°

sin 30°

=102. B=180°-(A+C)=180°-(45°+30°)=105°.

又∵bcsin B=sin C, ∴b=csin B10×sin 105°

sin C=sin 30°

=20sin 75° =20×

6+2

4

=5(6+2). 12.在△ABC中,acos(π2-A)=bcos(π

2

-B),试判断△ABC的形状.

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