设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1， ∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1）， ∴1=a（0﹣1）2﹣1， 解得 a=2，

∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1． （3）∵N（0，﹣3），

∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3， ∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2． 设点P坐标为（x，﹣2）， ∵O（0，0），M（1，﹣4），

∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17， OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4，

MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5． ①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5， 解得x=1?171?171?171?17或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）． 2222②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5， 解得 x=9，即P（9，﹣2）．

③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17， 解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）． 综上所述，当P为（角三角形．

9

1?171?17，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直22

【名师点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是：利用其表示坐标系中两点距离，是近几年中考的热点,需学生熟练运用. 【举一反三】

如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点

F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；

（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=﹣x2﹣4x+5．（2）

37；（3）P坐标为（﹣2，7）或（﹣2，﹣3）或（﹣2，26）或（﹣2，﹣1）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；

10

（2）构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；

（3）分三种情形分别求解①当?ACP?90,由AC2?PC2?PA2， 列出方程即可解决．②当?CAP?90?o时，由AC2?PA2?PC2， 列出方程即可解决．③当?APC?90? 时，由PA2?PC2?AC2，列出方程即可；

试题解析：(1)把A(?5,0),B(1,0)两点坐标代入y??x2?bx?c，

得到???25?5b?c?0??1?b?c?0，

解得??b??4?c?5，

∴抛物线的函数表达式为y??x2?4x?5. (2)如图1中，

∵抛物线的对称轴x=?2,E(x,?x2?4x?5)，

∴EH??x2?4x?5，EF??2?x，

∴矩形EFDH的周长?2(EH?EF)?2(?x2?5x?3)??2(x?5)2?3722. ∵?2<0， ∴x??5372时,矩形EHDF的周长最大,最大值为2. (3)如图2中,设P(?2,m)

11

①当?ACP?90, ∵AC2?PC2?PA2，

o∴(52)2?22?(m?5)2?32?m2， 解得m=7， ∴P1(?2,7).

②当?CAP?90o时,∵AC2?PA2?PC2， ∴(52)2?32?m2?22?(m?5)2， 解得m=?3， ∴P2(?2,?3).

③当?APC?90o时,∵PA2?PC2?AC2， ∴32?m2?22?(m?5)2?(52)2， 解得m=6或?1， ∴P3(?2,6),P4(?2,?1)，

综上所述,满足条件的点P坐标为(?2,7)或(?2,?3)或(?2,6)或(?2,?1).

类型三 【确定动点运动的时间】

典例指引3．

已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．

12