张文杰、曹阳主编《大学物理教程》习题解答 2009.10

气体动理论

思 考 题

4.1 阿伏伽德罗定律指出：在温度和压强相同的条件下，相同体积中含有的分子数是相等的，与气体的种类无关。试用气体动理论予以说明。

答： 据压强公式 p?nkT ，当压强和温度相同时，n也相同，与气体种类无关； 4.2 对一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大。当体积不变时，压强随温度的升高而增大。从微观角度看，两种情况有何区别。

答：气体压强是器壁单位面积上受到大量气体分子频繁地碰撞而产生的平均作用力的结果。当温度不变时，若体积减小，分子数密度增大，单位时间内碰撞器壁的分子数增加，从而压强增大；而当体积不变时，若温度升高，分子的平均平动动能增大，分子碰撞器壁的力度变大，从而压强增大；

4.3 从气体动理论的观点说明：

（1）当气体的温度升高时，只要适当地增大容器的容积，就可使气体的压强保持不变。 （2）一定量理想气体在平衡态（p1，V1，T1）时的热动平衡状况与它在另一平衡态（p2，V2，T2）时相比有那些不同?设气体总分子数为N，p2< p1，V2< V1。

（3）气体在平衡状态下，则vx?vy?vz?22212v， vx?vy?vz?0。 (式中vx、vy、3vz，是气体分子速度v的三个分量)。

答：（1）由p?nkT 可知，温度升高时，n适当地减小，可使压强不变；

（2） 在平衡态（p2，V2,T2）时分子的平均平动动能较在平衡态（p1，V1，T1）

时小，但分子数密度较大；

（3） 因分子向各方向运动的概率相同，并且频繁的碰撞，速度的平均值为零，

速度平方的平均值大小反映平均平动动能的大小，所以各分量平方平均值相等；

4.4 有人说“在相同温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，氧分子的质量比氢分子的大，所以氢分子的速率一定比氧分子大”。这样讲对吗？

答：不对，只能说氢分子的速率平方平均值比氧分子的大。

4.5 为什么说温度具有统计意义？讲几个分子具有多大的温度，可以吗？ 答：温度的微观本质是气体分子平均平动动能大小的量度，而平均平动动能是一个统计平均值，只有大量分子才有统计规律，讲几个分子有多大温度，无意义。

4.6 试指出下列各式所表示的物理意义。

(1)

13iMiM3kT；(2) kT；(3) RT；(4) RT；(5) RT。 222?2?2答：（1）对大量分子而言，当温度为T的平衡态时，平均来说，每一个自由度所具有

的能量。

（2）对大量分子而言，当温度为T的平衡态时，平均平动动能。

1

张文杰、曹阳主编《大学物理教程》习题解答 2009.10

气体动理论

（3）当温度为T的平衡态时，自由度为i的一摩尔理想气体具有的内能。 （4）当温度为T的平衡态时，自由度为i的

M?摩尔理想气体具有的内能。

（5）当温度为T的平衡态时,

M?摩尔单原子理想气体具有的内能。

4.7 有两瓶不同的气体，一瓶是氦，另一瓶是氮，它们的压强相同，温度相同，但容积不同，问：

（1）单位容积的分子数是否相同? （2）单位容积的原子数是否相同? （3）单位容积的气体质量是否相同? （4）单位容积气体的内能是否相同? 答：（1）单位容积内分子数相同。 （2）单位容积内原子数不同。 （3）单位容积的气体质量不同。 （4）单位容积气体的内能不同。

4.8 一定量的理想气体，在下列状态变化过程中，其内能有无变化?如何变化? （1）等压膨胀；（2）等容增压；（3）等温压缩。 答：（1）等压膨胀，温度升高，内能增加。 （2）等容增压，温度升高，内能增加。 （3）等温压缩，温度不变，内能不变。

4.9 已知f(v)是速率分布函数，其物理意义是什么？说明以下各式的物理意义：

（1）

f(v)dv；（2）

?v2v1Nf(v)dv；（3）

?vp0f(v)dv；（4）

??0v2f(v)dv

答：（1）分子热运动速率在?—?+d?区间内的分子数占总分子数的比率。 （2）分子热运动速率在?1—?2区间内的分子数。

（3）分子热运动速率在0—?p区间内的分子数占总分子数的比率。

（4）在热平衡条件下，气体分子速率平方的平均值。

4.10 有人说：“平均自由程就是各个分子在两次碰撞间所走过的路程。”这样说法是否正确?为什么？

答：不正确，由于分子作无规则的热运动，任意俩次碰撞间所走过的路程不同，平均自由程是一统计平均值。

4.11 一定量的气体，保持体积不变，问当气体温度升高时，分子的平均碰撞频率如何变化?分子的平均自由程是否变化?为什么?

答：体积不变时，分子数密度不变；温度升高时，平均速率增大，平均碰撞频率增大。平均自由程不变。

2

张文杰、曹阳主编《大学物理教程》习题解答 2009.10

气体动理论

4.12 气体分子的平均速率可达每秒几百米，为什么在房间内打开一汽油瓶的瓶塞后，需隔一段时间才能嗅到汽油味？

答：虽然气体分子的平均速率可达每秒几百米，但分子移动过程中不断地与其他众多的分子碰撞，使得分子进行的轨迹实际上是一条迂回的折线。所以需隔一段时间才能嗅到汽油味。

4.13 若某气体分子的自由度是i，是否可以说每个分子的能量都是

ikT。 2答：对大量分子而言，平均来说有此结论；对少数分子不可以这样说。

3

张文杰、曹阳主编《大学物理教程》习题解答 2009.10

气体动理论

习 题

4.1 目前真空设备的真空度可以达到1.0×10-10Pa，求在此压强下，温度为300K时单位体积内有多少个气体分子？

解：由理想气体状态方程 p=nkT 得

p1.0?10?10n???2.4?1010 ?23kT1.38?10?300

4.2 设太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可视为均匀，若其压强为1.35×1014Pa。试估算太阳的温度。(已知氢原子的质量mH=1.67×10-27kg，太阳半径Rs=6.96×108m，太阳质量ms=1.99×1030kg)

解：设原子总数为N，则

ms1.99?1030N???1.19?1057 ?27mH1.67?10原子数密度n?N43?Rs3?8.43?1029 由p?nkT 得

T?1.17?108（K）

4.3 一容积为1.0×10-3m3的容器中，含有4.0×10-5 kg的氮气，温度为30℃，试求容器中气体的压强。

4.0?1052325解：分子总数N? N0??6.02?10?1.72?103?14?10M1.72?102528?1.72?10分子数密度n? ?31.0?10

7由p?nkT 得p?7.19?10（pa）

4.4 当气体温度为290K，压强为1.33Pa时，每立方米中有多少分子数?

解：由p?nkT 得n?

4

p1.3320??3.32?10 kT1.38?10?23?290张文杰、曹阳主编《大学物理教程》习题解答 2009.10

气体动理论

4.5 一容器内储有氧气，压强为1.0×105Pa，温度为300K时。求： （1）气体分子的数密度； （2）氧气的密度；

（3）分子的平均平动动能； 解： （1）单位体积分子数

n?（2）氧气的密度

p?2.44?1025 kTMP???1.30（㎏·m3） VRT32??（3）氧气分子的平均平动动能

?k?kT?6.21?10?21(J)

4.6 2.0×10-3kg氢气装在2.0×10-2 m3的容器内，当容器内的压强为4.0×105Pa时，氢气分子的平均平动动能为多大?

解：由理想气体状态方程 pV?平均平动动能

M?RT 得 T??PVMR

?k?kT?323PV?k?1.99?10?20(J)

2MR

4.7 3 mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能和转动动能各为多少?

解：氢气可视为刚性双原子理想气体分子

39kT?N0?RT?1.12?104(J) 2223转动动能 Ekr?3?kT?N0?7.5?10(J)

2平动动能 Ekt?3?

4.8 容积为1.0×10-3 m3，压强为1.01×105Pa的气体分子的平动动能的总和为多少? 解：根据 p?nkT 及Ek?N?3kT （N为分子总数）得 233Ek?nV?kT?pV?1.52?102（J）

22

4.9 将16×10-3kg氧气由15℃加热到25℃，氧气的内能增加多少? 解：由?E?Mi?R??T 得 ?216?10?35?E???8.31?10?103.88（J）

32?10?325

张文杰、曹阳主编《大学物理教程》习题解答 2009.10

气体动理论

4.10 在容积为2.0×10-3m3的容器内，有内能为6.75×102 J的刚性双原子分子理想气体。

（1）求气体的压强；

（2）若容器内分子总数为5.4×1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。

解：（1）由E?MiM?RT和PV?RT可得气体压强 ?2?2E2?6.75?102P???1.35?105(Pa) ?3iV5?2.0?10(2)分子数密度n?N 则该气体的温度 VppVT???362(K)

nkNk3?21气体分子的平均平动动能?kt?kT?7.49?10(J)

2

4.11 宇宙中某些恒星的温度可达到1.0×108K，这也是发生核聚变反应(即热核反应)所需的温度，在此温度下，恒星可看作由质子组成。求：

（1）质子的平均动能是多少？

（1）质子的方均根速率是多大？(质子质量m=1.67×10-27 kg) 解：质子可视为质点，将大量质子看做理想气体

（1）?k?13m?2?kT?2.07?10?15（J） 22（2）方均根速率为?2?3kT?1.58?106（m/s） m

4.12 有一个具有活塞的容器中盛有一定量的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从27℃升到177℃，体积减少一半，求气体压强变化多少?这时气体分子的平均平动动能变化多少?

解：（1）p1?n1kT1 p2?n2kT2

K） T2?273?177n2?2n1 T1?273?27?3（00?则

4(K) 50

p2T?22?3 p1T1（2）?kt1?33kT1 ?kt2?kT2 22则

?kt2T2??1.5 ?kt1T16

张文杰、曹阳主编《大学物理教程》习题解答 2009.10

气体动理论

4.13 体积为1.0×10-3m3的容器中含有1.01×1023个氢气分子，若压强为1.01×105Pa，求该氢气的温度和分子的方均根速率。

N1.01?1023?解：分子数密度 n? 由 p?nkT 得 V1.0?10?3T?方均根速率

ppV??72.5（K） nkNk?2?3RT??9.5?102（m/s）

4.14 在3.0×10-2m3的容器中装有2.0×10-2kg气体，容器内气体的压强为5.06×104Pa，求气体分子的最概然速率。

解：由 ?p?2RT??p? 及pV?M?RT 得

2pV?3.9?102（m/s） M4.15 声波在理想气体中传播的速率正比于气体的方均根速率，问声波通过氧气的速率与通过氢气的速率之比是多少？设这两种气体均为理想气体且温度相同。

解：设声波在氧气中的速率为?1；在氢气中的速率为?2；据题意

?0?2??4 ?1?H20

4.16 试求温度为127℃的氢分子和氧分子的平均速率、方均根速率和最概然速率。 解：氧分子的摩尔质量?02?32?10㎏/mol

氢分子的摩尔质量 对氢分子：

?3?H?2?10?3㎏/mol

2??8RT???2.06?103(m/s) ?2?3RT??2.23?103(m/s)

?p?2RT??1.82?103(m/s)

对氧分子：

??8RT??5.14?102(m/s) ?2?3RT??5.58?102(m/s)

?p?7

2RT??4.56?102(m/s)

张文杰、曹阳主编《大学物理教程》习题解答 2009.10

气体动理论

4.17 在标准状况下氢气的平均自由程?=1.12×10-7m，计算两次碰撞之间的平均时间是多少？

解：已知T=273K

??2.0?10?3㎏/mol

??6.57?10?11（s） ???8RT??1704(m/s) ?t?4.18 目前实验室获得的极限真空约为1.33×10-11Pa，试求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d=3.0×10-10m)

P1.33?10?119??3.2?10解：T=300K P=nkT n? ?23kT1.38?10?300??1kT8??7.8?10(m) 222?dn2?dP4.19 在压强为1.01×105Pa时，氮气分子的平均自由程为6×10-8m，当温度不变时，

在多大压强下其平均自由程为1mm?

解：??1kT? 222?dn2?dP设

?1?6?10?8(m) ?2?1.0?10?3(m) p1?1.01?105Pa 则：

p2?1? p2?6.06(Pa) p1?2

4.20 试计算在标准状态下，空气分子的平均碰撞频率和平均自由程。已知此时空气分子的平均速率为4.85×102m·s-1，空气分子的有效直径为3.4×10-10m。

解：Z?2?d2n? n?P kTP?1.01?105(Pa) T?273K k?1.38?10?23J/K 则：

Z?6.7?109 ??1?8?7.27?10(m) 22?dn

4.21 若氖气分子的有效直径为2.59×10-10m，问在温度为600K，压强为1.33×102Pa时氖分子1s内的平均碰撞次数为多少？(氖气摩尔质量为20.17×10-3 kg·mol-1)

解：??8RT???8?8.31?600?7.94?102(m/s) ?33.14?20.17?10P?3.80?107 kTZ?2?d2n??2?d2?8

张文杰、曹阳主编《大学物理教程》习题解答 2009.10

气体动理论

4.22 若理想气体的温度保持不变，当压强降为原值的一半时，分子的平均碰撞频率和平均自由程变为原值的多少？

解：当温度不变时，平均速率不变。

Z?2?d2n??2?d2?P kT所以，当压强降为原来的一半时，平均碰撞频率也降为原来的一半；

??1kT ?222?dn2?dP平均自由程变为原来的2倍；

9