所以A?G?A?D?sinA?DB?22a2aa，DG?A?D?cosA?DB?，则BG?，

333aa分别以BF、BE为空间直角坐标系的x、y轴，建立如图坐标系，则E(0,,0)， F(a,a,0)，F(,0,0)，

22????????a????aaa????aaaaaA?(,,)，故BF?(,0,0)，BA??(,,)，BD?(a,a,0)，EF?(,?,0)， 333233322????????????????????aa因EF?BD?0，EF?BA??0，故面A?BD的一个法向量EF?(,?,0)，

22?a????n?BF?x?0,??2设面A?BF的一法向量为n?(x,y,z)，则?????取n?(0,?1,1)，

aaa?n?BA??x?y?z?0,?333?????n?EF设二面角F－A?B－D的平面角为?，则cos???????|n|?|EF|故二面角F－A?B－D的大小为60?． 21．（本小题满分14分）

解析：（Ⅰ）设动点Q(x,y)，点M(x0,y0)，

22因为点M(x0,y0)在圆x2?y2?4上，所以x0?y0?4，

a22?2a2?1，∴??60?， 2因为|QN|?2|MN|，所以x?2x0，y?y0，

xx2y222把x0?，y0?y代入x0?y0?4得动点Q的轨迹方程为??1．4分

21641?y?x?m,??2x2?2mx?2m2?8?0，由于有两（Ⅱ）（ⅰ）联立直线l与（Ⅰ）中的轨迹方程得?2∴2?x?y?1,??164个交点A、B，故??0，解得|m|?22， ① 5分

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点E(x3,y3)，由根与系数的关系得 x1?x2?x???m,??32 ?1m?y??(?m)?m?,3??22故AB的垂直平分线方程为y?m3m??2(x?m)，即2x?y??0． 22由圆O上存在两点C、D，满足CA?CB，DA?DB，可知AB的垂直平分线与圆O交于C、D3m|

452?2，解得|m|?两点，由直线与圆的位置关系可得， ② 35|

由①、②解得|m|?22，

?m的取值范围是?22?m?22．

??x1?x2??2m,（ⅱ）由（ⅰ）知?所以AB?1?k2x1?x2?1?k2?(x1?x2)2?4x1x22??x1x2?2m?8,15?1?()2?4m2?4(2m2?8)??32?4m2， 10分

22

[来源学_科_网]3m|80?9m23m222又直线2x?y?， )?2?0与圆的相交弦|CD|?22?(2025|80?9m22|CD|280?9m229220， ?????22|AB|532?4m548?m5?32?4m22由（ⅰ）?22?m?22，故当m?0时，故直线l方程为y?|CD|292??取得最小值， |AB|548?m21x． 222．（本小题满分15分）

解：（1）若a=1, 则f(x)?xx?1?lnx．

12x2?x?1?0， 当x?[1,e]时, f(x)?x?x?lnx,f(x)?2x?1??xx2' 所以f(x)在[1,e]上单调增, ?f(x)max?f(e)?e2?e?1. ?????2分 （2）由于f(x)?xx?a?lnx，x?(0,??)．

12x2?ax?1 （ⅰ）当a?0时，则f(x)?x?ax?lnx，f(x)?2x?a??，

xx2'a?a2?8 令f(x)?0，得x0?， ?0（负根舍去）

4' 且当x?(0,x0)时，f(x)?0；当x?(x0,??)时，f(x)?0，

''a?a2?8a?a2?8 所以f(x)在(0,)上单调减，在(,??)上单调增.??4分

44（ⅱ）当a?0时，

12x2?ax?1①当x?a时， f(x)?2x?a??,

xx'a?a2?8a?a2?8 令f(x)?0，得x1?（x?， ?a舍）

44'a?a2?8若?a，即a?1, 则f'(x)?0，所以f(x)在(a,??)上单调增；

4

a?a2?8若即0?a?1, 则当x?(0,x1)时，f'(x)?0；当x?(x1,??)时，f'(x)?0，?a，

4a?a2?8a?a2?8所以f(x)在区间(0,)上是单调减，在(,??)上单调增.

441?2x2?ax?1②当0?x?a时, f(x)??2x?a??,

xx'令f'(x)?0，得?2x?ax?1?0，记??a?8，

若??a?8?0，即0?a?22, 则f'(x)?0，故f(x)在(0,a)上单调减； 若??a?8?0，即a?22,

2222a?a2?8a?a2?8则由f(x)?0得x3?，x4?且0?x3?x4?a，

44'当x?(0,x3)时，f'(x)?0；当x?(x3,x4)时，f'(x)?0；当x?(x4,??) 时，f'(x)?0，

a?a2?8a?a2?8a?a2?8所以f(x)在区间(0,)上是单调减，在(,)上单调增；在

444a?a2?8(,??)上单调减.

4a?a2?8综上所述，当a?1时,f(x)单调递减区间是(0,) ，f(x)单调递增区间

4a?a2?8是(,??)；

4当1?a?22时, f(x)单调递减区间是(0,a)，f(x)单调的递增区间是

(a,??)；

a?a2?8a?a2?8当a?22时, f(x)单调递减区间是(0, )和(,a)，

44a?a2?8a?a2?8f(x)单调的递增区间是(,)和(a,??).

44（3）函数f(x)的定义域为x?(0,??)． 由f(x)?0，得x?a?lnx． * xlnx?0，不等式*恒成立，所以a?R； x（ⅰ）当x?(0,1)时，x?a≥0，

（ⅱ）当x?1时，1?a≥0，

lnx?0，所以a?1； xlnxlnx恒成立或a?x?恒成立． xx（ⅲ）当x?1时，不等式*恒成立等价于a?x?x2?1?lnxlnx令h(x)?x?，则h?(x)?． 2xx因为x?1，所以h?(x)?0，从而h(x)?1． 因为a?x?lnx恒成立等价于a?(h(x))min，所以a≤1． xx2?1?lnxlnx令g(x)?x?，则g?(x)?． 2xx1再令e(x)?x2?1?lnx，则e?(x)?2x??0在x?(1,??)上恒成立，e(x)在x?(1,??)上无最大值．

x综上所述，满足条件的a的取值范围是(??,1)．