等差数列的前n项和教案
一、教学目的
1、使学生理解等差数列的前n项和公式的推导过程的思想与方法，并掌握公式。 2、使学生运用数学建模的方法，正确运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的应用问题。
3、使学生通过自主观察、分析、探索、归纳、交流，培养学生的自主探索能力、数学建模能力和严谨的逻辑思维能力。
4、通过从具体到抽象，从特殊到一般的探索，培养学生的理性思维，逐步树立科学发展观，优化思维品质，养成健康的心理素质。
二、教学重点、难点、关键
教学重点：等差数列的前n项和公式的推导和应用。 教学难点：等差数列的前n项和公式的推导。
教学关键：推导等差数列的前n项和公式的关键是通过情境的创设，发现倒序求和法。应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系，建立等差数列模型，运用公式解决问题。
三、教具、学具准备
多媒体课件。运用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和质量。 四、教学方法
按现代教育观，课堂教学应充分发挥“教为主导，学为主体，练为主线”的教学思想。本节课运用“引导探索发现法”，采用“情境引入——自主探究——成果交流——变式应用——反思回授”等五个环节，并使用多媒体辅助教学，引导学生动手动脑去观察、分析、探索、归纳获得解决问题的方法，把教学过程变为渴望不断探索真理并带着美好感情色彩的意向活动。
五、学法指导
“授人以鱼，不如授人以渔”。教是为了不教，教给学生好的学习方法，让他们会学习，并善于用数学思维去分析问题和解决问题，受益终身。
本节课根据教材特点，激“疑”生“趣”，学生自主探究，学会从具体到抽象，从特殊到一般，由浅入深去分析、探索，循序渐进地发现等差数列的普遍规律，从而得出等差数列的前n项和公式，在应用公式解决问题时，引导学生理论联系实际，抽象出数量关系，建立数学模型，获得解决问题的方法，带领学生踏上“再创造”之旅。
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六、教学过程
1、复习回顾，以旧悟新
（1）等差数列的定义：an?an?1?d(n?2,n?N*)，d为常数。 （2）等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d (n?N*)。
（3）等差数列{an}中，若p?q?m?n，则ap?aq?am?an（p、q、m、n?N*）。 2、创设情境，引入新课
200多年前，德国著名数学家Gauss（高斯）10岁读小学时，老师出了一道数学题：
1?2?3??100??据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，高斯经过思考后很快
得出其结果是5050。
师：“小高斯快速算出1?2?3??100的和，成为千古美谈。同学们，我们也能成长
为高斯。这节课我们研究《等差数列的前n项和》，就是与高斯比一比，我们也能快速算出
1?2?3??100，并且把这种方法推广到更一般的等差数列前n项和的求法中去。”
这个问题实际上就是本节课要学习的内容：（板书课题）
2.3等差数列的前n项和
一般地,等差数列的前n项和用sn表示,即
sn?a1?a2?a3??an
现在分小组讨论探究下面的问题：
1、1，2，3，……，98，99，100从数列角度来看，这是什么数列？高斯用什么方法快速算出这个数列的和？
2、高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到求一般数列的前n项和吗？ 3、这些方法用到了等差数列哪一个性质？
4、能否用高斯的速算法求下列等差数列的前n项和： （1）计算a1?a2?a3??an?2?an?1?an??
?[a1?(n?1)d]??
（2）计算a1?(a1?d)?(a1?2d)?学生阅读、小组讨论时，老师要眼观六路，耳听八方，对每个学生在自觉和小组讨论中遇到的难题，要进行适当点拔，使他们的学习走上正轨，然后各小组汇报研究性学习成果，进行全班交流。
A组小组长说：1，2，3，……，98，99，100是首项为1，末项为100，公差为1的等
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差数列，高斯的算法是：
（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101?50?5050。 B组小组长说：也可以写成算式的形式：
s?1?2??50?51??99?100
?2?1
?s?100?99??51?50?
2s?101?101??101?101??101?101
s?101?(1?100)?5050。
2师：很好，这种方法就是把数列各项的顺序倒过来再相加的方法，我们把这种方法称为“倒序求和法”。这种倒序求和法运用了等差数学哪一个性质？
B组小组长说：运用了等差数列中与首末两项等距离的两项的和等于首末两项和的性质。即在等差数列{an}中，若p?q?m?n，则ap?aq?am?an（p、q、m、n?N*）。
3、讲授新课，推导公式
教师因势设问：“能把倒序求和法推广到一般的等差数列的前n项和吗？” C组小组长说：可以运用高斯算法——倒序求和法可计算：
sn?a1?a2?a3??an?2?an?1?an
?a3?a2?a1
?sn?an?an?1?an?2?
2sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)?a1?an?a2?an?1?a3?an?2??2sn?n(a1?an)，
?sn?n(a1?an) ( ? ) 2?(an?2?a3)?(an?1?a2)?(an?a1)
?an?2?a3?an?1?a2?an?a1
D组小组长说：同理运用高斯算法——倒序求和法也可计算：
sn?a1?(a1?d)??[a1?(n?2)d]?[a1?(n?1)d]
?(a1?d)?a1
?sn?[a1?(n?1)d]?[a1?(n?2)d]?
2sn?[2a1?(n?1)d]?[2a1?(n?1)d]?
?[2a1?(n?1)d]?[2a1?(n?1)d]
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?sn?na1?n(n?1)d (??) 2E组小组长抢答:由下列算法也可以得到公式( ? )：
sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)??sn?an?(an?d)?(an?2d)??[a1?(n?1)d] ?[an?(n?1)d]
2sn?(a1?an)?(a1?an)?(a1?an)??sn?n(a1?an) ( ? ) 2?(a1?an)
以an?a1?(n?1)d代入也可得到公式(??)的形式。
师：非常好。公式( ? )、(??)称为等差数列的前n项和公式，用这些公式可求得等差数列的前n项和。
引导学生比较得出：若已知等差数列首项为a1，末项为an，项数为n，可直接运用公式
( ? )sn?n(a1?an)求和；若已知等差数列首项为a1，公差为d，项数为n，则直接运用公式2n(n?1)d求和较为简便。从公式的结构特点可知，公式化共包含五个量a1，an，(??)sn?na1?2n，d，sn，只要知道其中三个量，就可以求出其余两个量。
思考：比较两个公式( ? )、(??)，说说它们分别从哪些角度反映等差数列的性质？ 4、初步应用，熟悉公式 请同学们解下列一组题。 计算下列各题： （1）1?2?3?（2）1?3?5?（3）2?4?6??n。
?(2n?1)。 ?2n。
（4）1?2?3?4?5?6??(2n?1)?2n。
生：直接利用等差数列的前n项的公式( ? )求得： （1）原式?n(1?n)（这是正整数列之和）。 2 4