20．如图1是一张等腰直角三角形纸，AC=BC=40cm，将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条．

（1）分别求出3张长方形纸条的长度；

（2）若用这些纸条为一幅正方形美术品镶边（纸条不重叠），如图2，正方形美术品的面积最大不能超过多少cm2．

【考点】相似三角形的应用；二次函数的应用．

【分析】（1）利用相似三角形的性质求出每个纸条的长；

（2）将（1）中相关数据相加，易得纸片的宽度，从而计算出正方形的边长，从而计算面积即可． 【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=40cm，CD是斜边AB上的高， ∴AB=40

cm，CD是斜边上的中线，

cm，

=5

（cm），

∴CD=AB=20

于是纸条的宽度为：∵

=，

cm． cm，

∴EF=AB=10同理，GH=20IJ=30

cm，

∴3张长方形纸条的长度分别为：10

cm，20cn，30cm；

（2）由（1）知，3张长方形纸条的总长度为60如图2，图画的正方形的边长为：∴面积为（10

）2=200（cm2）

﹣5

=10

cm． （cm），

答：如图（b） 正方形美术作品的面积最大不能超过200cm2．

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【点评】此题考查了相似三角形的应用，不仅要计算出纸条的长度，还要计算出宽度，要仔细观察图形，寻找隐含条件．

21．在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点；一次函数y=kx+b（k≠0）图象与反比例函数y=

的图象交于A（a，2a﹣1）、B（3a，a）．

（1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求△ABO的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）根据反比例函数系数k=xy得出a（2a﹣1）=3a?a，解得a=﹣1，求得A、B的坐标，即可确定出反比例函数解析式；将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；

（2）设y=﹣x﹣4与x轴交点为C，对于一次函数解析式，令x=0求出y的值，确定出C坐标，得到OC的长，然后根据S△ABO=S△AOC﹣S△BOC即可求得． 【解答】解：（1）∵A（a，2a﹣1）、B（3a，a）在反比例函数∴a（2a﹣1）=3a?a， ∵m≠0， ∴a=﹣1， ∴m=3，

∴A（﹣1，﹣3）、B（﹣3，﹣1）

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图象G上，

∴所求反比例函数解析式为：；

将A（﹣1，﹣3）、B（﹣3，﹣1）代入y=kx+b（k≠0）， ∴所求直线解析式为：y=﹣x﹣4； （2）设y=﹣x﹣4与x轴交点为C 令y=0， ∴C（﹣4，0）

∴S△ABO=S△AOC﹣S△BOC=

=

=4．

【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

22．如图，矩形ABCD中，BC=2

，∠CAB=30°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF=2，

连结AF、CE．点P是线段AE上的点，过点P作PH∥CE交AC于点H，设AP=x． （1）请判断四边形AECF的形状并证明； （2）用含x的代数式表示AH的长；

（3）请连结HE，则当x为何值时AH=HE成立？

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据直角三角形的性质和勾股定理求出CA、AB的长，根据菱形的判定定理证明即可；

（2）根据相似三角形的判定定理证明△APH∽△AEC，根据相似三角形的性质得到出AH；

（3）作HG⊥AB于G，根据锐角三角函数的定义求出AG、HG，根据勾股定理表示出HE，根据题意列出方程，解方程即可．

【解答】解：（1）四边形AECF是菱形． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B=90°，又BC=2

=，计算求

，∠CAB=30°，

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∴CA=2BC=4∵BE=2，

，AB=6，

∴AE=AB﹣BE=4，CE=∵CF∥AE，CF=AE=2，

=4，

∴四边形AECF是平行四边形，又EA=EC=4， ∴四边形AECF是菱形； （2）∵PH∥CE， ∴△APH∽△AEC， ∴

=

，即

x；

=，

解得，AH=

（3）作HG⊥AB于G， ∵AH=∴HG=

x，∠CAB=30°， x，AG=x，

∴GE=AE﹣AG=4﹣x， 由勾股定理得，HE=当AH=HE时，解得，x=，

则当x=时，AH=HE成立．

x=

=

，

=

，

【点评】本题考查的是矩形的性质、菱形的判定、相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定，灵活运用相关的性质和定理、根据题意正确作出辅助线是解题的关键，注意方程思想在解题中的应用．

23．如图1，点O为正方形ABCD的中心．

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