【备战2019】2018全国各地中考数学压轴题精选(含详细答案) 下载本文

(3)当S=12时,直接写出点P的坐标,此时,在坐标轴上是否存在点M,使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:一次函数综合题。 专题:压轴题。

分析:(1)解方程x﹣14x+48=0求出方程的两根,就得到A,B的坐标;

(2)当点P在OB上运动时,OP1=t,即三角形OA边上的高是OP,则面积就可以求出;当点P在BA上运动时,作P2D⊥OA于点D,根据△AP2D∽△ABO就可以表示出P2D,则△OP2A的面积就可以表示出来,从而得到函数解析式;

(3)本题应分当点P在OB上运动和当点P在BA上运动两种情况进行讨论,两种情况下对应的函数解析式已经求出,可以求出相应的t的值,进而求出点的坐标.

2

解答:解:(1)解方程x﹣14x+48=0得:x1=8,x2=6, ∴A(8,0),B(0,6);

(2)∵OA=8,OB=6, ∴AB=10,

当点P在OB上运动时,OP1=t,

当点P在BA上运动时,作P2D⊥OA于点D, 有

2

∵AP2=6+10﹣t=16﹣t, ∴∴

(3)当4t=12时,t=3,P1(0,3),

此时,过△AOP各顶点作对边的平行线,与坐标轴无第二个交点,所以点M不存在; 当

时,t=11,P2(4,3), ,

此时,M1(0,3)、M2(0,﹣6).

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点评:本题是一个综合应用题,用到了相似三角形的性质,方程的解法,是一个函数与三角形的综合问题.

8.(云南)如图,在直角坐标系中,半圆直径为OC,半圆圆心D的坐标为(0,2),四边形OABC是矩形,点A的坐标为(6,0).

(1)若过点P(2,0)且与半圆D相切于点F的切线分别与y轴和BC边交于点H与点E,求切线PF所在直线的解析式;

(2)若过点A和点B的切线分别与半圆相切于点P1和P2(点P1、P2与点O、C不重合),请求P1、P2点的坐标并说明理由.(注:第(2)问可利用备用图作答).

考点:一次函数综合题。 专题:压轴题。

分析:(1)设出切线PH所在直线的解析式,过E点作ET⊥x轴于点T,连接DP、DF,则DF⊥PE,构造出直角三角形,利用特殊角的三角函数值求出E点的坐标,根据直线过P、E两点,列出方程组求出未知数的值,进而求出切线的解析式; (2)分当k<0,设过点A且与半圆相切于P1点的切线方程为y=k1x+b1,P1点的坐标为(x1,y1),切线与边BC交于点S,过点S作ST1⊥x轴于点T1.利用三角形相似求出P1点的坐标. k>0时,据圆的对称性知P2点是P1点关于直线y=2对称的点,从而可得P2点的坐标. 解答:解:(1)设切线PH所在直线的解析式为y=kx+b.(1分)

解法一:设E点的坐标为(xE,4),过E点作ET⊥x轴于点T,连接DP、DF,则DF⊥PE, 在Rt△DOP和Rt△DFP中,∵OP=PF,OD=DF,∴△DOP≌△DFP. 在Rt△DOP中,tan∠DPO=

=

∴∠DPO=30°,从而知∠OPEe=60度. 在Rt△EPT中,可求得PT=∴E点的坐标为(

,4).(4分)

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∵直线过P、E两点,∴

∴切线PF所在直线的解析式为y=﹣

解方程组,得x+6.(6分)

解法二:∵点P的坐标为(2,0),且直线y=kx+b过点P, ∴2k+b=0,b=﹣2k.

设E点的坐标为(xE,4),过E点作ET⊥x轴于点T. ∵切线过E点,

∴kxE+b=4,xE=(4﹣b). ∵EC=EF,PF=PO, ∴PE=EF+FP.(4分)

222

在Rt△ETP中,PE=ET+PT, ∴[(4﹣b)+2

]=4+[2

2

2

﹣(4﹣b)],解方程,得k=﹣

x+6.(6分)

2

,b=6.

∴切线PF所在直线的解析式为y=﹣

(2)如备用图,

(ⅰ)当k<0时,设过点A且与半圆相切于P1点的切线方程为y=k1x+b1,P1点的坐标为(x1,y1),切线与边BC交于点S,过点S作ST1⊥x轴于点T1. 同上理,可得b1=﹣6k1,∴[

(4﹣b1)+6]=4+[6﹣

2

2

(4﹣b1)],

2

解方程,得k1=﹣,b1=.(8分) ∵直线y=k1x+b1与边BC交于点S(x2,4),

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∴4=﹣x2+,解方程,得x2=.

∵=,

∴(+6)y1=6×4,解得y1=,代入y=﹣x+,解得x1=.

).(10分)

∴所求满足条件的P1点的坐标为(,

(ⅱ)当k>0时,据圆的对称性知P2点是P1点关于直线y=2对称的点,从而可得P2点的坐标为(,).(12分)

点评:此题难度很大,把一次函数,圆,三角形的知识结合起来,综合性很强,解答此题的关键是根据题意画出图形,利用数形结合求出结论.

9.(厦门)如图,在直角梯形OABD中,DB∥OA,∠OAB=90°,点O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,对角线OB,AD相交于点M.OA=2,AB=2,BM:MO=1:2. (1)求OB和OM的值;

(2)求直线OD所对应的函数关系式;

(3)已知点P在线段OB上(P不与点O,B重合),经过点A和点P的直线交梯形OABD的边于点E(E异于点A),设OP=t,梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为S,求S关于t的函数关系式.

考点:一次函数综合题;相似三角形的判定与性质。 专题:综合题;压轴题。

分析:(1)由于∠OAB=90°,OA=2,AB=2,所以OB=4; 因为

=,所以

=,OM=.

=

=,故DB=1,D(1,2

).故

(2)由(1)得:OM=,即BM=.由于DB∥OA,易证过OD的直线所对应的函数关系式是y=2

x.

(3)依题意:当0<t≤时,E在OD边上,分别过E,P作EF⊥OA,PN⊥OA,垂足分别为F和N,由于tan∠PON=对应的函数关系式是y=2

=x,

,故∠PON=60°,OP=t,故ON=t,PN=t,直线OD所

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