（3）当S=12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题。 专题：压轴题。

分析：（1）解方程x﹣14x+48=0求出方程的两根，就得到A，B的坐标；

（2）当点P在OB上运动时，OP1=t，即三角形OA边上的高是OP，则面积就可以求出；当点P在BA上运动时，作P2D⊥OA于点D，根据△AP2D∽△ABO就可以表示出P2D，则△OP2A的面积就可以表示出来，从而得到函数解析式；

（3）本题应分当点P在OB上运动和当点P在BA上运动两种情况进行讨论，两种情况下对应的函数解析式已经求出，可以求出相应的t的值，进而求出点的坐标．

2

解答：解：（1）解方程x﹣14x+48=0得：x1=8，x2=6， ∴A（8，0），B（0，6）；

（2）∵OA=8，OB=6， ∴AB=10，

当点P在OB上运动时，OP1=t，

；

当点P在BA上运动时，作P2D⊥OA于点D， 有

，

2

∵AP2=6+10﹣t=16﹣t， ∴∴

（3）当4t=12时，t=3，P1（0，3），

此时，过△AOP各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M不存在； 当

时，t=11，P2（4，3）， ，

；

此时，M1（0，3）、M2（0，﹣6）．

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点评：本题是一个综合应用题，用到了相似三角形的性质，方程的解法，是一个函数与三角形的综合问题．

8．（云南）如图，在直角坐标系中，半圆直径为OC，半圆圆心D的坐标为（0，2），四边形OABC是矩形，点A的坐标为（6，0）．

（1）若过点P（2，0）且与半圆D相切于点F的切线分别与y轴和BC边交于点H与点E，求切线PF所在直线的解析式；

（2）若过点A和点B的切线分别与半圆相切于点P1和P2（点P1、P2与点O、C不重合），请求P1、P2点的坐标并说明理由．（注：第（2）问可利用备用图作答）．

考点：一次函数综合题。 专题：压轴题。

分析：（1）设出切线PH所在直线的解析式，过E点作ET⊥x轴于点T，连接DP、DF，则DF⊥PE，构造出直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出E点的坐标，根据直线过P、E两点，列出方程组求出未知数的值，进而求出切线的解析式； （2）分当k＜0，设过点A且与半圆相切于P1点的切线方程为y=k1x+b1，P1点的坐标为（x1，y1），切线与边BC交于点S，过点S作ST1⊥x轴于点T1．利用三角形相似求出P1点的坐标． k＞0时，据圆的对称性知P2点是P1点关于直线y=2对称的点，从而可得P2点的坐标． 解答：解：（1）设切线PH所在直线的解析式为y=kx+b．（1分）

解法一：设E点的坐标为（xE，4），过E点作ET⊥x轴于点T，连接DP、DF，则DF⊥PE， 在Rt△DOP和Rt△DFP中，∵OP=PF，OD=DF，∴△DOP≌△DFP． 在Rt△DOP中，tan∠DPO=

=

．

∴∠DPO=30°，从而知∠OPEe=60度． 在Rt△EPT中，可求得PT=∴E点的坐标为（

，

，4）．（4分）

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∵直线过P、E两点，∴

∴切线PF所在直线的解析式为y=﹣

解方程组，得x+6．（6分）

解法二：∵点P的坐标为（2，0），且直线y=kx+b过点P， ∴2k+b=0，b=﹣2k．

设E点的坐标为（xE，4），过E点作ET⊥x轴于点T． ∵切线过E点，

∴kxE+b=4，xE=（4﹣b）． ∵EC=EF，PF=PO， ∴PE=EF+FP．（4分）

222

在Rt△ETP中，PE=ET+PT， ∴[（4﹣b）+2

]=4+[2

2

2

﹣（4﹣b）]，解方程，得k=﹣

x+6．（6分）

2

，b=6．

∴切线PF所在直线的解析式为y=﹣

（2）如备用图，

（ⅰ）当k＜0时，设过点A且与半圆相切于P1点的切线方程为y=k1x+b1，P1点的坐标为（x1，y1），切线与边BC交于点S，过点S作ST1⊥x轴于点T1． 同上理，可得b1=﹣6k1，∴[

（4﹣b1）+6]=4+[6﹣

2

2

（4﹣b1）]，

2

解方程，得k1=﹣，b1=．（8分） ∵直线y=k1x+b1与边BC交于点S（x2，4），

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∴4=﹣x2+，解方程，得x2=．

∵=，

∴（+6）y1=6×4，解得y1=，代入y=﹣x+，解得x1=．

）．（10分）

∴所求满足条件的P1点的坐标为（，

（ⅱ）当k＞0时，据圆的对称性知P2点是P1点关于直线y=2对称的点，从而可得P2点的坐标为（，）．（12分）

点评：此题难度很大，把一次函数，圆，三角形的知识结合起来，综合性很强，解答此题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求出结论．

9．（厦门）如图，在直角梯形OABD中，DB∥OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AD相交于点M．OA=2，AB=2，BM：MO=1：2． （1）求OB和OM的值；

（2）求直线OD所对应的函数关系式；

（3）已知点P在线段OB上（P不与点O，B重合），经过点A和点P的直线交梯形OABD的边于点E（E异于点A），设OP=t，梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．

考点：一次函数综合题；相似三角形的判定与性质。 专题：综合题；压轴题。

分析：（1）由于∠OAB=90°，OA=2，AB=2，所以OB=4； 因为

=，所以

=，OM=．

=

=，故DB=1，D（1，2

）．故

（2）由（1）得：OM=，即BM=．由于DB∥OA，易证过OD的直线所对应的函数关系式是y=2

x．

（3）依题意：当0＜t≤时，E在OD边上，分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，由于tan∠PON=对应的函数关系式是y=2

=x，

，故∠PON=60°，OP=t，故ON=t，PN=t，直线OD所

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