（2）设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，根据面积公式可知S△ADC，从而得到r1，r2，由此可求得直线O1O2的解析式；
（3）由（1）易得直线AC的解析式，联立直线O1O2的解析式，求得点M的纵坐标为，过点M作ME⊥y轴于点E，由Rt△CME∽Rt△CAD得出比例关系，解得CM的长，同理得CN的长，再判断CM与CN的大小关系． 解答：解：（1）在Rt△ABC中，CD⊥AB ∴△ADC∽△ACB，∴AC=AD?AB， ∴AD=
；
，
）
2
同理DB=，CD=∴A（﹣
，0），B（，0），C（0，
（2）设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2， 则有S△ADC=AD?CD=（AD+CD+AC）r1 ∴∴
由此可求得直线O1O2的解析式为：
（3）CM与CN的大小关系是相等．
证明如下：法一：由（1）易得直线AC的解析式为：联立直线O1O2的解析式，求得点M的纵坐标为过点M作ME⊥y轴于点E， ∴CE=CD﹣DE=解得：
；由Rt△CME∽Rt△CAD，得
，∴CM=CN；
，
，
，
，同理
； ；
；
，同理
法二：由Rt△O1O2D∽Rt△ABC， ∴∠O2O1D=∠BAC，
由此可推理：∠CMN=∠O1DA=45°， ∴∠CNM=45°，∴CM=CN．
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点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用，解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．
15．（镇江）探索、研究：下图是按照一定的规律画出的一列“树型”图，下表的n表示“树型”图的序号，an表示第n个“树型”图中“树枝”的个数．
图：表： n 1 an 1 234 … 371… 5
（1）根据“图”、“表”可以归纳出an关于n的关系式为 an=2﹣1 ．
若直线l1经过点（a1，a2）、（a2，a3），求直线l1对应的函数关系式，并说明对任意的正整数n，点（an，an+1）都在直线l1上．
（2）设直线l2：y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线l1相交于点M，双曲线y=（x＞0）经过点M，且与直线l2相交于另一点N．
①求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线l1、l2．
②设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为t，直线MP与x轴相交于点Q，当t为何值时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面积等于1？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
③在y轴上是否存在点G，使得△GMN的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，
n
请说明理由．
考点：一次函数综合题。 专题：压轴题。
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分析：（1）先求直线l1为y=2x+1，把点（2﹣1，2﹣1）代入，左式=2﹣1，右式=2
nn+1
（2﹣1）+1=2﹣1，左式=右式，所以对任意的正整数n，点（an，an+1）都在直线l1上． （2）①由题意，点A的坐标为（4，0），点M的坐标为（1，3）；求得双曲线为y=（x＞0），由此得点N的坐标为（3，1）． ②由题意，点P的坐标为
当S△MQA=2S△MPA，即S△MPA=S△PQA时，P为MQ的
nn+1n+1
中点，可得t=2时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍，过M作ME⊥x轴于E，则S△PMA=S△MEA﹣S△MPE﹣S△PEA=6﹣
，得3t﹣7t+9=0．通过此方程的解的问题可知
2
此方程没有实数根，即不存在这样的t值，使△PMA的面积为1．
③设在y轴上存在点G，使得△GMN的周长最小，MN为定值，要使△GMN的周长最小，只要GM+GN的值最小，由平面几何知识可知，G为M’N与y轴的交点，设过M’N的直线所对应的函数关系式为y=ax+b，得
n
，由此可求得G的坐标为．
解答：解：（1）由an=2﹣1可得a1=1，a2=3，a3=7，
又直线l1经过点（a1，a2）、（a2，a3），设直线l1的解析式为y=kx+b， 把（1，3），（3，7）代入得k=2，b=1 所以直线l1为y=2x+1，
nn+1n+1nn+1
把点（2﹣1，2﹣1）代入y=2x+1，左式=2﹣1，右式=2（2﹣1）+1=2﹣1，左式=右式，所以对任意的正整数n，点（an，an+1）都在直线l1上．
（2）①y=﹣x+4与x轴相交于点A，所以y=0，x=4，即点A的坐标为（4，0）， 因为点M是L2与L1的交点，联立所以点M的坐标为（1，3）；
又因为双曲线y=（x＞0）经过点M，所以k=3 所以双曲线为y=（x＞0），
，解得x=1，y=3，
因为点N是双曲线与直线是L2的交点，联立由此得点N的坐标为（3，1）． ②由题意，点P的坐标为
，解得x=3，y=1
当S△MQA=2S△MPA，即S△MPA=S△PQA时，P为MQ的中点，
可得t=2时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍，过M作ME⊥x轴于E， 则S△PMA=S△MEA﹣S△MPE﹣S△PEA=4.5﹣
，得3t﹣7t+9=0，
2
用配方法或根的判别式法可以确定此方程没有实数根． ∴不存在这样的t值，使△PMA的面积为1．
③由题意，点M关于y轴的对称点M’的坐标为（﹣1，3），
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设在y轴上存在点G，使得△GMN的周长最小， ∵MN为定值，
∴要使△GMN的周长最小，只要GM+GN的值最小，由平面几何知识可知，G为M’N与y轴的交点，
设过M’N的直线所对应的函数关系式为y=ax+b，则
，
得，
∴由此可求得G的坐标为．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．
16．（咸宁）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知矩形ABCD的边AB、AD分别在x轴、y轴上，点A与坐标原点重合，且AB=2，AD=1． 操作：将矩形ABCD折叠，使点A落在边DC上． 探究：
（1）我们发现折痕所在的直线与矩形的两边一定相交，那么相交的情形有几种请你画出每种情形的图形；（只要用矩形草稿纸动手折一折你会有发现的！）
（2）当折痕所在的直线与矩形的边OD相交于点E，与边OB相交于点F时，设直线的解析式为y=kx+b．
①求b与k的函数关系式；
②求折痕EF的长（用含k的代数式表示），并写出k的取值范围．
考点：一次函数综合题；翻折变换（折叠问题）。 专题：压轴题。
分析：（1）此题可以首先确定两种特殊情况：一是当点A和点D重合时，则折痕即为OD的垂直平分线；二是点A和点C重合时，则折痕是AC的垂直平分线．根据这两种特殊情况，其它的只能位于这两种折痕之间． （2）令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=b，
①如图，设A折叠后与M点重合，M的坐标为（m，0），证明 △EOF∽△MDO，根据相似三角形的对应边成比例得到
，则OE=b，OF=﹣，DM=m，
OD=1，这样就可以用b，k表示m，然后在Rt△EDM中就可以得到k，b的关系式； ②在Rt△OEF中根据勾股定理可以用k的代数式表示了．
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