∵c=λa+μb,∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),
即
∴=4.
答案:4 15.已知向量的值为 . 解析:∵,∴)·=0, )·(
)=λ
-λ
=0.
=0, 的夹角为120°,且|
|=3,|
|=2.若
=λ
,且
,则实数λ
∴(λ
即(λ
∵向量的夹角为120°,||=3,||=2,
∴(λ-1)||||cos 120°-9λ+4=0,
解得λ=.
答案:
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.
(8分)如图,在?OADB中,设
=a,
=b,
.试用a,b表示
.
5
解:由题意知,在?OADB中,)=(a-b)=a-b,
则=b+a-b=a+b,
)=(a+b),
则(a+b)-a-b=a-b.
17.(8分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<α<β<π. (1)求|a|的值;
(2)求证:a+b与a-b互相垂直. (1)解:∵a=(cos α,sin α),∴|a|=
=1.
(2)证明∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0,
∴a+b与a-b互相垂直.
18.(9分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=2
,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ. 解:(1)因为c∥a,a=(1,2),
所以可设c=λa=(λ,2λ). 又|c|=2
,所以λ2+4λ2=20,解得λ=±2.
所以c=(2,4)或c=(-2,-4). (2)依题意,得(a+2b)·(2a-b)=0, 即2|a|2+3a·b-2|b|2=0. 又|a|2=5,|b|2=,
所以a·b=-,
所以cos θ=
=-1,
而θ∈[0,π],所以θ=π.
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19.(10分)在△ABC中,(1)若|
|=|
|,求向量
+2
,M是BC的中点. 与向量2
|=|
|=
的夹角的余弦值; ,求
的最小值.
(2)若O是线段AM上任意一点,且|解:(1)设向量
+2与向量2
的夹角为θ,|
|=|
|=a,
∵,∴=0, ∴(
+2
)·(2
)=2
+5+2=4a2,
|+2|=
=
a,
同理可得|2
|=
a,
∴cos θ=.
(2)∵,|
|=||=,
∴|
|=1. 设||=x(0≤x≤1), 则|
|=1-x,而
=2, ∴·(
)=2
=2|
||
π=-2x(1-x)=2x2-2x=2,
当且仅当x=时,取得最小值-.
20.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足.
(1)求证:A,B,C三点共线;
|cos
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(2)求的值;
(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈,f(x)=|的最小值为-,求实
数m的值. (1)证明∵,
∴),即.
∴.
又AC,AB有公共点A,
∴A,B,C三点共线.
(2)解:由(1)得
),
∴,
∴=2,∴=2.
(3)解:=(1+cos x,cos x)-(1,cos x)=(cos x,0).
∵x∈
,∴cos x∈[0,1].
∴||=|cos x|=cos x. ∵=2
, ∴=2().
∴3=2
=2(1+cos x,cos x)+(1,cos x)=(3+2cos x,3cos x),
∴.
8
∴f(x)=|
=1+cos x+cos2x-cos x
=(cos x-m)2+1-m2,cos x∈[0,1].
当m<0时,当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知最小值为-相矛盾,即m<0不合题意;
当0≤m≤1时,当且仅当cos x=m时,f(x)取得最小值1-m2. 由1-m2=-,得m=±
(舍去);
当m>1时,当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m,由2-2m=-,得m=>1.
综上所述,实数m的值为.
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