（1）点Q三等分线段OA，且AQ?2，一条抛物线经过D、Q、C三点，求这条抛3物线的解析式；

（2）图中△ECF是等腰直角三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由． （3）作△ADO的中位线MN，并将△AMN进行平移、旋转、翻折（无任何限制），使它与四边形MNOD拼成特殊四边形．（1）抛物线上是否存在点P，使它成为所拼特殊四边形异于M、N、O、D四点的顶点．若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

具体活动：

1．请学生独立尝试思考，并展示思考方法； 2．比较问题4与问题1、2、3的联系与区别； 3．请学生说数学思想方法：

（1）问：待定系数、数形结合、方程思想； （2）问：联想转化、试一试； （3）问：分类讨论、全等变换． 4．请学生说解答思路：

（1）设、列（探索等量关系）、解、答；

（2）联想转化、顺藤摸瓜、逆向追朔试一试（全等：边等；等量加等量）；

（3）分类讨论，全等变换试一试，分情况求解与判断是否在抛物线上（与前面问题不同）．同时师揭示：第三3问这样的问题是分类讨论的存在性问题，与以前动点的分类讨论有区别．

5．学生独立完成解答过程（一位学生上黑板展示） 解：（1）∵在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90?，∴∠ABC=90?． 又∵∠AOC=90?，∴四边形AOCB为矩形．∴OC=AB=1，AO=BC=2． ∴点C(1,0)，点A(0,2)． 在Rt△ADO中，tan∠ADO=

AO=2，∴DO=1，∴点D(-1，0)． DOy设过D、Q、C三点的抛物线的解析式为y?a(x?1)(x?1)．

4由已知，得点Q（0，)．

344 ∴当x?0时，y?．∴a??．

33424 ∴y??x?．

33（2）解：△ECF是等腰直角三角形．证明如下：

∵?EDC??FBC，DE?BF，又∵DC=BC=2， ∴△CED≌△CFB．∴CE=CF，∠DCE=∠BCF．

∴∠ECF=∠DCB=90?．∴△ECF是等腰直角三角形．

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A2BQE1F-1D01C2x（3）答：存在．

如图1，将△AMN绕点M逆时针旋转180?，得到△MDP此时，四边形ONP1，1D为正方形． 2A

1 MP1N

-1 DC1x00

图1

∴NP1=OD=1，∴点P1（-1，1）．

当x??1时，y??yyA2P11MN-1D00C1x44?1??0≠1， 33424所以，点P1不在抛物线y??x?上；

33如图2，将△AMN绕点N顺时针旋转180?，得到NOP2，此时四边形MDOP2为平行四边形．

∵MN=P2N=

yyA2A2M1P2NM1NP201x0图21x1111OD=，ON=OA=1，∴P2（，1）． 2222141241424当x?时，y???()??1，所以点P2(,1)在抛物线y??x?上；

2323233（3）如图3，将△AMN沿y轴翻折再平移得到NOP3,此时，四边形MDP3N为等腰梯形．点P3(

1,0)． 2yyA2A2M1P3M1N01x0P31x图3教案 第 6 页 共 9 页 2009-5-25

14124424时，y???()??1≠0．所以点P3不在抛物线y??x?上. 2323334241综上所述，在抛物线y??x?上，存在一个点（，1），使得△AMN经过平移、

332当x?翻折、旋转变化后，与四边形MDON构成特殊的四边形．

（四）考点再梳理

1．知识、技能、方法、易错点再梳理

;?1.特殊四边形??2.平移、旋转、翻折;?知识：?3.拼图;

?4.求解析式,判断点是否在抛物线上;??计算.?5.三角形与四边形证明与技能：思考问题的步骤、解答唯一性、存在性问题的步骤、小问间独立思考与综合思

考相结合。

方法：??思考方法:联相转化、选择试题；?思想方法．全等变换、分类讨论、待定系数、数形结合、方程思想、

易错点：分类标准不统一、遗漏；计算粗心或畏难．

2．揭示课题副标题：新编函数与几何综合的唯一性、存在性开放性问题唯一性、存在性的开放性问题．

本课重点：形成解答新编函数与几何综合的唯一性、存在性开放性问题；

难点：养成联想转化、试一试的习惯、分类拼图的不遗漏及相关计算的正确． （五）变式精练 问题5．（容易题，强化拼图）下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形_____________（请填图形下面的代号）．

答案：②． 问题6．（自编压轴题，巩固提高）（有时间说思路，没有时间就作为作业）

如图，△ABC中，BC?2，?ABC?45°，CD?AB于D，BE平分?ABC，且BE?AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．以点H为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的坐标系．

（1）一条抛物线经过D、B、C三点，求这条抛物线的解析式；

（2）线段BG与CE之间存在数量关系BG?2CE吗？

DGB-1yA若存在，请证明；若不存在，请说明理由；

（3）将△DHC进行平移、旋转、翻折（次数不限），使它与四边形△BDH拼成特殊四边形．（1）抛物线上是否存在点P，使它成为所拼特殊四边形异于B、H、D三点的顶点．若存在，请

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1ECH1x求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

具体活动：请生说解答思路．（具体过程作为作业） 解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°．

∵H是BC的中点，∴DH?BH?CH?1BC?1． 2∴B（－1，0），C（1，0）．

又∵∠ABC=45°，∴∠BCD=90°－∠ABC=45°．

∴∠ABC=∠BCD，∴BD=CD．∴点D在y轴上．∴D（0，1）．

依题意可设过D、B、C三点的抛物线的解析式为y?a(x?1))x?1)y=a(x＋1)(x－1)， 则1=a(0＋1)(0－1)．解之，得a=－1．∴抛物线的解析式为y??x2?1． （2）答：线段BG与CE之间存在数量关系BG?2CE． 证明：连结CG．

∵H是BC的中点，DH⊥BC，∴CG=BG．∴∠GCB=∠GBC． 又∵∠ABC=45°，BE平分∠ABC， ∴∠GCB=∠GBC=22.5°．

∴∠CGE=∠GCB＋∠GBC=45°． ∵BE⊥AC， ∴CG?yADG1ECECE??2CE．

sin?CGEsin45?B-1CH1x∴BG?2CE．

（3）不存在符合条件的点P．理由如下：

∵将△DHC平移、旋转、翻折（次数不限）后的三角形与△BDH能拼成特殊四边形， ∴拼成的特殊四边形除D、H、C三点外的第四个顶点的坐标只能是（1，1）或（－1，1）或（－1，－1）．

2

经检验，点（1，1），（－1，1），（－1，－1）均不在（1）中抛物线y=－x＋1上，故不存在符合条件的点P．

（六）目标达成小结

1．知识与技能方面：进一步学到什么？还有什么疑点？ 2．过程与方法方面：思维习惯及方法有什么新的收获？ 3．情感、态度与价值观方面：有什么新收获？ （七）作业

1．中档题：完成问题3变式2、3：

2．压轴题：完成精练2，并看结果与例2有什么不同． 3．中档题：如图，已知△ABC是等边三角形，延长AB于点D，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于G．延长BC于点E，使CE=BD，连接AE． （1）求证：△ABE≌△ACD；

（2）过点E作EF∥DC，交DG于点F，求Sin∠AFE？ 五、板书设计：

ABCEGDF教案 第 8 页 共 9 页 2009-5-25

中考函数与几何综合压轴题专题

——透视新编唯一性、存在性的开放性问题

黑板左边：

一、自查

问题1．拼图：思路是分类讨论、全等变换试一试； 问题2．求解析式：设、列（建立等量关系）、解、答． 二、梳理

三、知识、方法、易错点 六：小结

1．知识与技能方面：进一步学到什么？还有什么疑点？ 2．过程与方法方面：思维习惯及方法有什么新的收获？ 3．情感、态度与价值观方面：有什么新收获？ 黑板右边： 四、精讲

问题3

思考方法：联想转化、顺藤摸瓜、逆向追朔试一试 解答思路：证△ABE≌△AHE；证△AHD≌△DCE；得结论．

变式1解答思路：设、列（探索等量关系）、解、答． 问题4 解答思路： （1）与自查2相同；

（2）与例1第一问相同； （3）分类拼图、求解判断． 五、精练

练1 解答思路：与自查1类似；

练2 解答思路：与例2同．该题与例2不同的是抛物线上不存在符合条件的点． 七：作业

1．完成精练2的解答过程；

2．完成改编几何证明题1个．

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