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第3章 线性电光效应的耦合波理论
波在介质中传播时，能够通过介质内的非线性极化而相互作用将导致形形色色的非线性光学现象，如高次谐波、参量转换、受激散射等等。电光效应就是其中的一种非线性光学现象。电波与光波的互作用，实质上又可以看作是几个处于不同波段的电磁波在非线性介质中的波耦合过程。，因此可以像非线性光学那样，通过求解耦合波方程来获得电光作用的有关知识。线性电光效应耦合波理论的思想就是采用非线性光学的方法来处理线性电光效应的问题。于是我们采用类似非线性光学方法，首先给出相应的非线性极化强度，把电场所感生的附加极化矢量当成一个微扰量仰，再将它视为新的极化光源引入麦克斯韦波动方程，通过整理最后可得到相应的耦合波方程[11]。线性电光效应耦合波理论就是以麦克斯韦波动方程为基础和出发点推导出来的。在推导过程中为了突出问题
的物理实质，使用了一些合理的近似使方程的数学表述变得简洁明了。这些近似可归纳为： 1) 2)
??0，??0，???0，即所讨论的是电导率为零，净电荷为零，且无光电导的
非磁性介质，这样在理论推导中我们不考虑磁光效应。
??电极化强度p只与电场E有关，无旋光效应。
3) 光与非线性介质相互作用时，把光理想化为单色平面波。
4) 在相位失配的情况下，以致无倍频，在考虑二阶非线性光学效应时，可忽略更高阶
次的非线性光学效应。 5) 光场远离共振吸收区。
6) 慢变振幅近似有效，即可忽略在一个波长范围内振幅的变化：
??2?E(r)?E(r)??k ?r2?r7) 介质中光波的群速等于它的相速
在这些近似满足的前提条件下，我们可以由麦克斯韦方程组和物质方程推导出
????1?2[??E(t)]?2PNL(t) (3.1) ????E(t)?2???022c?t?t根据矢量运算规则，
???2 ????E??(??E)??E (3.2)
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这样可得
??2?2NL??1?[??E(t)]?P(t)2??? ?[??E(t)]??E(t)?2 (3.3) 0c?t2?t2???为介质的相对介电张量，?0为真空中的磁导率，c为真空中的光速，E(t)为介质中的
??总电场强度，PNL(t)为只与电场强度E(t)有关的介质非线性极化强度，暂不考虑旋光效
??应。当光沿r方向传播时，电场强度可分为平行和垂直于r的两个分量，因为此时光波
???理想化为单色平面电磁波，平行r的分量E//(t)为零，所以我们只需保留E(t)垂直于传
??播方向r上的分量E?(t)。在没有自由电荷的均匀介质中和在P???0E的情况下，有
???E?0，这样方程(3.3)可变为：
??NL2?2??P?(t)1?(??E(t))???? ??2E?(t)?2 (3.4) 022c?t?t其中在单色波近似下，外加电场后晶体中总的电场强度可表示为： ??1??)E[?e(?i?t)?c?c? ] E(t)?E(0(3.5) 2?E(0)为外加直流电场或频率远小于?的低频电场；c?c?表示电场的复共轭部分；将(3.5)式代入(3.4)式的左边，可得：
2??(??E(t))?11?i?t21?2?2??E?(t)?2??e?E?(?)?2(??E(?))?e?i?t 2c?t22c(3.6)
由于电光晶体所产生的线性电光效应比其所产生的二次电光效应强得多，并且在实际应用中常利用立方晶系晶体或均质体来产生二次电光效应，因此由电光晶体产生的二次电光效应就显得不重要了。在这里我们只考虑线性电光效应的贡献，而认为由于相位失配其它各二阶非线性效应以及更高阶非线性效应可以被忽略，所以在求解(2．4)式时，把非线性激励项作为一种微扰来处理。所以有
1(2)(2)??it(t)?)e? P?NL(t)?P?P?(2于是方程(3.4)式的右边
?2P?NL(t)12(2)?i?t??0???P(?)e (3.8) 0?2?t2? c (3.7) ? c由(3.6)和(3.8)式，则式(3.4)可变为
?2??E?(?)?2(??E(?))????0?2P?(2)(?) (3.9)
2c 12
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一般说来，频率为?的单色平面波在各向异性晶体中传播时电矢量可分为两个相互正交的偏振分量E1(?)，E2(?)，设k1、k2分别为E1(?)，E2(?)所对应的波矢，因此我们可定义
E(?)?E1(?)?E2(?)?E1(r)eik1?r?E2(r)eik2?r (3.lO)
如果k1?k2，E1(?)，E2(?)分别表示光电场强度的两个相互垂直的分量；如果k1?k2，
E1(?)，E2(?)分别代表两个折射率不同，在晶体的传播中各自独立的电场强度。例如，在各项异性晶体中，E1(?)，E2(?)分别表示O光和e光的电场强度。故(3.9)式可变为
j?1,2?2???Ej?(?)?2(??Ej(?))????0?2Pj?(2)(?) (3.11)
2c?线性电光效应可以与二阶电极化率张量?(2)联系起来， 因只包含二阶非线性极化强度，忽略高阶的，其表达式为
P(2)(?)?2?0?(2)(?,0):E(?)E(0) (3.12)
?0为真空中的介电常数，?(2)(?,0)为二阶极化率张量。另外一方面又有
dE?(r)d2E?(r)ikr?[E?(r)e]?[?kE?(r)?2ik?]e (3.13)
drdr22ikr2在线性响应和介质无耗的情况下，偏振矢量和场振幅E(r)都是恒定的，与波通过介质时所运行的距离r无关。而在非线性响应的情况下，即使介质是无耗的，偏振矢量和场复
振幅也都是r的函数。然而，因为非线性激励项是作为对线性效应的一种微扰来处理的，因此我们可以认为电场复振幅因子E(r)是r的慢变化函数。于是考虑慢变振幅近似
?2E(r)?E(r)?2?2??k和弱线性吸收近似kE?(r)?2[??E?(r)]，并且仍然定义E?(?)的两2?r?rc个相互垂直和相互独立的偏振分量分别为E1(r)eik1?r和E2(r)eik2?r，由式(3.4)-(3.13)和
c2?1?0?0我们可以得到
?E1(r)?E2(r)?ik2eik2r?r?rik1eik1r
???2c2?(2)(?,0):E1(r)E(0)eikr?1?2c2 (3.14)
?(2)(?,0):E2(r)E(0)eikr2在忽略离散效应的情况下，我们记
??? E1(r)?E1(r)a E2(r)?E2(r)b E(0) (3.15) ?E0c
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?????a、b、c为单位向量，因为E1(r)与E2(r)为两个相互垂直的偏振分量，有a?b?0，
????a?a?1。我们分别用a、b来点乘方程(3.14)，可得到如下方程组：
?????E1(r)?2?(2)?2?(2)i?kr?i2a??(?,0):b?cE2(r)E0e?i2a??(?,0):a?cE1(r)E0?rk1ck1c (3.16) 2?2??????E2(r)??(2)i?kr(2)?ib??(?,0):a?cE(r)Ee?ib??(?,0):b?cE102(r)E0?rk2c2k2c2其中?k?k2?k1，对于无损耗介质的，?(2)(?,0)是实数且满足全对称性排列，即有
????(2) a??(?,0)b:?c?b??(2) (3.17) ?(,0a)? :c??设n1，n2分别为两光波E1，E2在介质中的折射率，有
(3.18)
cc把(2-17)和(2-18)式代入方程组(2—16)，则该方程组变为
??k0?(2)k????E1(r)?ia??(?,0):b?cE2(r)E0ei?kr?i0a??(2)(?,0):a?cE1(r)E0?rn1n1 (3.19)
????k0?(2)k??E2(r)?ia??(?,0):b?cE1(r)E0e?i?kr?i0b??(2)(?,0):b?cE2(r)E0?rn2n2又有电光张量元?jkl与二阶非线性极化率之间的关系.
k1?n1k0?n1? k2?n2k0?n2??jkl(2)(?,0)??(?jj?kk)?jkl (3.20)
2kl其中令对角化后的介电张量元素?jj?n2jj，?kk?nkk，j,,=1,2，3
12我们定义reff1、reff2、reff3为有效电光系数，其表达式如下
reff1??(?jj?kk)(aj?jklbkcl)j,k,lreff2??(?jj?kk)(aj?jklakcl)j,k,lreff3??(?jj?kk)(bj?jklbkcl) (3.21)
j,k,l?jkl??
2?(2)jkl(??,?,0)?jj?kk14