苏州科技学院本科毕业论文
间（X，T）或X中的一个开集．即：A∈T A是开集
为由X中的所有开集构成
为X的由度量ρ
定义2.3.2 设（X，ρ）是一个度量空间·令
的集族．根据定理2.1.2，（X，）是X的一个拓扑．我们称
诱导出来的拓扑．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ）的拓扑时，指的就是拓扑就是拓扑空间（X，
）
；在称度量空间（X，ρ）为拓扑空间时，指的
定义2.3.3 设（X，P）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量ρ使得拓扑P即是由度量ρ诱导出来的拓扑
，则称（X，P）是一个可度量化空间．
定义2.3.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．如果Y中每一个开集U的原象
（U）是X中的一个开集，则称f是X到Y的一个连续映射，或简称映
射f连续．
定义2.3.5 设X和Y是两个拓扑空间．如果f：X→Y是一个—一映射，并且f和
：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚．
定义2.3.6 设X和Y是两个拓扑空间．如果存在一个同胚f：X→Y，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y．
- 9 -
苏州科技学院本科毕业论文
第三章 几种拓扑不变性质
拓扑空间的某种性质P，如果为某一拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质。换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质。
拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质。
3.1连通性 3.1.1连通空间
定义3.1.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果
则称子集A和B是隔离的．
明显地，定义中的条件等价于
和
同时成立，也就是说，
A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．
定义3.1.1.2设X是一个拓扑空间。如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间。
定义3.1.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集。如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集。
前面我们说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质，所谓拓扑不变性质，乃是一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质。事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是借助于开集或者借助于经由开集定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质。
拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个连续映射下的像所具有，则称这个性质是一个连续映射下的保持不变的性质。由于同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质。
拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质。由于拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质是可商性质。
以下定理3.1.1.1指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映射下保持不变的性质。因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质。
定理3.1.1.1 设f：X→Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，则f（X）Y的一个连通子集。
证明 如果f（X）是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空间隔离子集A和B使得f(X)=A∪B。于是
（A）和
（B）是X的非空子集，并且
所以
（A）和
（B）是X的非空隔离子集．此外，
- 10 -
苏州科技学院本科毕业论文
（A）∪（B）＝（A∪B）=(f(X))=X
这说明X不连通．与定理假设矛盾．
3.1.2 连通性的某些简单应用
定理3.1.2.1 设E是实数空间R的一个子集，E是一个连通子集当且仅当E是一个区间
定理3.1.2.2 设X是一个连通空间，f:X→R是一个连续映射．则f(X)是R中的一个区间．（这个部分可由上一节的定理3.1.1.1立即得出）
因此，如果x，y∈X，则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t（即当f(x)≤f(y)时，f(x)≤t≤f(y)；当f(y)≤f(x)时，f(y)≤t≤f(x))，存在z∈X使得f(z)=t．
限于篇幅，定理3.1.2.1与3.1.2.2的证明详见文献[1]124-125页定理4.2.1与定理4.2.2的证明，因为这两个定理对证明数学分析中的介值定理与不动点定理起着关键性的作用，故列于此处：
根据定理3.1.2.2，立即可以推出数学分析中的介值定理
定理3.1.2.3（介值定理） 设f:[a,b]→R是从闭区间[a,b]到实数实数空间R的一个连续映射，则对于f(a)与f(b)之间的任何一个实数r，存在z∈[a,b]使得f（z）=r.
定理3.1.2.4（不动点定理） 设f：[0,1] →[0,1]是一个连续映射，则存在z∈[0,1]使得f(z)=z.
证明 如同数学分析中的证法那样，只需要构造F（x）=x-f(x),再利用介值定理即可证得.
3.1.3 局部连通空间
定义3.1.3.1 设X是一个拓扑空间，x∈X．如果x的每一个邻域U中都包含着x的某一个连通的邻域V，则称拓扑空间X在点x处是局部连通的．
如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的，则称X是一个局部连通空间．
3.1.4 道路连通空间
定义3.1.4.1 设X是一个拓扑空间．从单位闭区间[0，1]→X的每一个连续映射f:[0，1]→X叫做X中的一条道路，并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f的起点和终点．当x＝f（0）和y＝f（1）时，称f是X中从x到y的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点（也是它的终点）称为闭路的基点．
定义3.1.4.2 设X是一个拓扑空间．如果对于任何x，y，存在着X中的一条从x到y的道路（或曲线），我们则称X是一个道路连通空间．X中的一个子集Y称为X中的一个道路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间．(Y是否道路连通与X是否道路连通没有关系)
定义3.1.4.3 设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一条从x到y的道路，我们则称点x和y是道路连通的．(注意:是“点”道路连通)
根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则 （1）x和x道路连通；（因为取常值的映射f: [0，1]→X（它必然是连续的）便是一条从x到x的道路．）
（2）如果x和y连通，则y和x也连通；(设f:[0，1]→X是X中从x到y的一条道路．定义映射j：[0，l]→X，使得对于任何t∈[0，l]有j（t）＝f（1
- 11 -
苏州科技学院本科毕业论文
－t）．容易验证j是一条从y到x的道路．)
（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（设
：[0，1]→X
分别是X中从x到y和从y到z的道路．定义映射f:[0，1]→X使得对于任何t∈[0，l]，
应用粘结引理立即可见f是连续的，此外我们有f（0）＝（0）=x和f(1)=(1)=z．因此f是从x到z的一条道路．）
以上结论归结为：拓扑空间中点的道路连通关系是一个等价关系．
3.2 可数性公理
3.2.1 第一与第二可数性公理
某拓扑空间的一个基或在某一点处的一个邻域基，如果是一个可数族，我们则分别简称之为一个可数基和一个可数邻域基。
定义3.2.1.1 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为A2空间。
定义3.2.1.2 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为A1空间。
定理3.2.1.1 每一个度量空间都满足第一可数性公理
证明 设X是一个度量空间，x∈X，则所有以x为中心以有理数为半径的球形邻域构成x处的一个可数邻域。
定理3.2.1.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个满的连续开映射．如果X满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则Y也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）．(这是关于连续映射下是否保持的性质)
证明 设X满足第二可数性公理，映射，={f(B)|B∈
是它的一个可数基．由于f是一个开
是Y的一
}是由Y中开集构成的一个可数族．只需证明
个基．设U是Y中的一个开集，则(U)是X中的一个开集．因此存在
。由于f是一个满射，我们有
即U是
中某些元素的并．这完成
是Y的一个基的证明．
本定理关于满足第一可数性公理的情形证明类似。
根据定理3.2.1.2可见拓扑空间满足第一可数性公理和满足第二可数性公理的性质都是拓扑不变性质。
接下来的一节，我们来介绍一种拓扑空间，即Lindeloff空间，并借此展开
- 12 -