苏州科技学院本科毕业论文

一类拓扑空间上覆盖性质的刻画

刘良友

（苏州科技学院数理学院，数学系 2006级（1）班）

摘 要

覆盖与映射的方法是一般拓扑学中通用的重要工具，吸引了很多国内外学者。著名拓扑学家Arhangel’skii指出：一般拓扑学致力于拓扑空间及连续性的研究，有三个主要的“内在”任务，一是不同拓扑空间类的比较，二是确定类的研究，三是为上述目的及应用的需要定义出新的概念和空间类。实现任务一的联结空间的映射方法特别重要，该方法是直接建立不同空间类的联系，任务二主要涉及空间类关于运算的性质，而覆盖的方法对完成上述任务起重要作用。由此,覆盖与映射的方法是一般拓扑学中通用的重要工具。

本文主要是对覆盖性质进行了一些拓展，主要是对以下三个拓扑空间的覆盖性质及映射展开讨论：

定义1 拓扑空间X称为局部紧致空间，如果X中的每一个点都有一个紧致的邻域。

定义2 拓扑空间X称为仿紧空间，如果X的每一个开覆盖存在局部有限的开加细。空间X称为可数仿紧空间，若X的每一可数开覆盖存在局部有限的开加细。

定义3 拓扑空间X称为亚紧空间，如果X的每一开覆盖有点有限的开加细。 关键词：拓扑空间 覆盖性质 局部紧致空间 仿紧空间 亚紧空间

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Abstract

Covering properties and maps are very important tools in topology.It attracts many prominent topologists.The famous mathematician Arhangel’skii thinks topology hava three mission:first,compare of topological spaces.second,topology strudy.third,creat new spaces for the purpose.Mapping is the important tool of the first mission.It builds relation of the different topological spaces.Coveringis the important tool that accomplish the second mission.So,covering and mapping are the universal tools in general topology.

This paper is mainly about some extension on covering properties.Here mainly discusses the mapping and covering properties of the following three kinds of spaces:

Definition 1.A space X is called locally compactness space if every point of X has a compact neighborhood.

Definition 2.A space X is called para-compactness space if for every open cover,there exists locally finite open refinement.Space X is called countably para-compactness space,if for every countably open cover,there exists countably locally finite open refinement.

Definition 3.A space X is called sub-compactness space,if for every open cover,there exists point-finite open refinement.

Keywords:Topological space,Covering,mapping, locally compactness space , para-compactness space , sub-compactness space.

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目录

第一章 引言??????????????????????????4

1.1 拓扑学的产生与发展?????????????????4 1.2 拓扑学的应用????????????????????6

第二章 预备知识????????????????????????7

2.1 记号和术语?????????????????????7 2.2 度量空间和连续映射?????????????????7 2.3 拓扑空间和连续映射?????????????????8

第三章 几种拓扑不变性质????????????????????9 3.1 连通性???????????????????????9 3.2 可数性公理?????????????????????12 3.3 分离性公理?????????????????????15 第四章 主要结论 ???????????????????????17 3.1 局部紧致空间的性质?????????????????17 3.2 仿紧空间的性质???????????????????18 3.3 亚紧空间的性质???????????????????22 致谢?????????????????????????????26 参考文献???????????????????????????26

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第一章 引言

1.1 拓扑学的产生与发展

拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。Topology原意为地貌，于19世纪由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。所谓拓扑变换就是一一对应的双方连续变换。通常的初等几何是研究图形经过刚体变换后仍保持不变的性质，所以叫做刚体几何。射影几何研究图形在射影对应下不变的性质。而拓扑学是研究图形经过拓扑变换不变的性质（或量）。在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，拓扑学就已经出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓扑池等分支。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题，这些都是“拓扑学”的先声。

19世纪末，拓扑学中或多或少得到一些发展的唯一分支是闭曲面的拓扑学。这个理论的建立与19世纪里复变函数论的发展相联系。作为在19世纪的数学史上最突出成绩之一的复变函数论，曾经循着好几条不同的道路而发展起来。黎曼的几何方法，从掌握所研究对象的本质这一点来看，是最有效的方法之一。缺凿地说明了在复变的一般理论里不能只限于考虑单值函数之后，黎曼方法引入了所谓黎曼曲面。黎曼思想的进一步发展归功于庞加莱、克莱茵以及他们的后继者。结果建立了函数论、闭曲面的拓扑学以及非欧几何（罗巴切夫斯基平面上运动群的理论）之间意想不到的深刻联系。

当这些问题进一步发展后，单单考虑曲面的拓扑学便感到不足，而有必要解决n维拓扑学中一定的问题。第一个遇到的这种问题是空间维数的拓扑不变性。问题在于证明当n≠m时，n维欧氏空间不能够拓扑地映满m维欧氏空间。这个困难的问题首先为布劳埃尔在1911年予以解决。因为要解决这个问题而发明了一些新的拓扑方法，这些方法使得高维流形的连续映像理论以及高维流形上的向量场理论地开始发展。在所有这些研究工作里，需要用到所谓一般拓扑学的最基本概念。拓扑学的这一分支，是由上世纪末叶康图托尔所建立的集合论而产生的一般拓扑学所研究的对象，也就是说，是由上世纪康图托尔所建立的集合论而产生的一般拓扑学所研究的对象，也就是说，所考虑的几何图形类是极其广泛的，即使不包括欧氏空间里的一切集合，至少也包括了欧氏空间中的一切闭集。对于新的一般拓扑学的迅速发展，各国学者都起了作用，特别应该指出的是波兰拓扑

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