第八章 多元函数微分法及其应用
(A)
1．填空题
?2z?2z(1)若z?f?x,y?在区域D上的两个混合偏导数， ，则在D上，
?x?y?y?x?2z?2z。 ??x?y?y?x(2)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处可微的 条件是z?f?x,y?在点?x0,y0?处的偏导数存在。
(3)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?可微是z?f?x,y?在点?x0,y0?处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域
(1)z?x?y；(2)u?arccos3．求下列各极限
1?cos(x2?y2)sinxyxy(1)lim； (2)lim； (3)lim2
x?0(x?y2)x2y2x?0x?0xxy?1?1y?0y?0y?0zx?y22
?3z?3z4．设z?xln?xy?，求2及。 2?x?y?x?y5．求下列函数的偏导数 (1)z?arctg23y；(2)z?ln?xy?；(3)u?exyz。 xdz。 dtdu7．设u?ex?y?z?，x?t，y?sint，z?cost，求。
dt6．设z?uv2?tcosu，u?et，v?lnt，求全导数
?x2?y2?z?8．曲线?，在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少？ 4?y?4?x2y2z29．求方程2?2?2?1所确定的函数z的偏导数。
abc10．设z?ye2x?xsin2y，求所有二阶偏导数。
1
11．设z?f?x,y?是由方程12．设xy?ey?ex，求
?zxz?z?ln确定的隐函数，求，。
?xzy?ydy。 dxz3?z?z?2z13．设z?f?x,y?是由方程e?z?xy?0确定的隐函数，求，，。
?x?y?x?y14．设z?yex?cosy，求全微分dz。
15．求函数z?ln2?x2?y2在点?1,2?的全微分。 16．利用全微分求
2???2.98?2??4.01?2的近似值。
17．求抛物面z?x2?y2与抛物柱面y?x2的交线上的点P?1,1,2?处的切线方程和平面方程。
x2y2z2???3上点P?2,?1,3?处的切平面方程和法线方程。 18．求曲面41919．求曲线x?4t，y?t2，z?t3上点M0?x0,y0,z0?，使在该点处曲线的切线平行3于平面x?2y?z?6。
20．求函数f?x,y??4?x?y??x2?y2的极值。 21．求函数f?x,y??e2xx?y2?2y的极值。
22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？
(B)
1．求下列函数的定义域
(1)z?arcsinx?y?lnln10?x?4y???2???22??；(2)u?x2?y2?1
4?x2?y2y??2．(1)设f?x?y,??x2?y2，求f?x,y?，f?x?y,xy?。
x?? (2)设f?x,y??x?2y，求f?xy,f?x,y?? 3．求下列函数的极限
2
?2??(1)lim?1?22?x???x?y?y???2x2?y2??；(2) limex?0y?021x?y2?2?12sin?ex?y???? ???xy,当(x,y)??0,0??424．设f?x,y???x?y，问limf?x,y?是否存在？
x?0y?0?0,当?x,y???0,0???xsin?x?2y?,x?2y?5．讨论函数的连续性，其中f?x,y???x?2y。
?0,x?2y??xy,?x,y???0,0??226．二元函数f?x,y???x?y在点?0,0?处：①连续，偏导数存在；
?0,?x,y???0,0??②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。
7．设z?1?x2y，求
??y?z?z，。 ?x?y?f?2f8．设u?f2x?3y?2z，求，2。
?x?x?32??f?2f9．设u?f2x,3y,2z，求，。
?z?z?x?32?10．设z?xyfx2?y2,x2?y2，f可微，求dt。 11．设f?xy,y?z,xz??0，求
?z?z，。 ?x?y??12．设zx?yz?0，求dzx?1。
y?1z?113．设z?f?rcos?,rsin??可微，求全微分dz。
14．设z?f?x,y?是由方程f?x?z,yz??0所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求dz，并由此求
?z?z和。 ?x?y15．求z?x2?y2??xy的偏导数。
?x?y?z?0dxdy16．设?2，求，。 22dzdz?x?y?z?1
3
17．设u?exyz?3u，求。
?x?y?z18．求函数u?xyz在点?5,1,2?处沿从点?5,1,2?到点?9,4,14?方向的方向导数。 19．求函数u?xx2?y2?z2在点M?1,2,?2?沿x?t，y?2t2，z??2t4在此 点的
切线方向上的方向导数。
6x2?8y2?20．求函数u?在点P处沿方向n的方向导数。
z21．判断题：(简单说明理由) (1)
?f?x,y?就是f?x,y?在?x0,y0?处沿y轴的方向导数。 ?y?x0,y0? (2)若f?x,y?在?x0,y0?处的偏导数在。
?f?f，存在，则沿任一方向l的方向导数均存?y?y22．证明曲面x?y?z?4上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。
23．证明：球面∑：x2?y2?z2?1上任意一点?a,b,c?处的法线都经过球心。 24．求椭球面3x2?y2?z2?16上的一点??1,?2,3?处的切平面与平面z?0的交角。 25．设u，v都是x，y，z的函数，u，v的各偏导数都存在且连续，证明： 26．问函数u?xy2z在P?1,?1,2?处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。
x2y2z227．求内接于椭球面??2?2?1的最大长方体的体积。
abc23232328．某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入
R与报纸广告费x及电视广告费y(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：
R?15?14x?31y?8xy?2x2?10y2，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最优广告策略。
29．求函数f?x,y??ex?y的n阶麦克劳林公式，并写出余项。
4
30．利用函数f?x,y??xy的2阶泰勒公式，计算1?11.02的近似值。
(C)
1．证明limx?0y?0xyx?y22?0。
2．设f?x,y??|x?y|??x,y?，其中??x,y?在点?0,0?，邻域内连续，问(1)??x,y?在什么条件下，偏导数fx??0,0?，fy??0,0?存在；(2)??x,y?在什么条件下，f?x,y?在?0,0?处可微。
3．设y?f?x,t?而t为由方程??x,y,t??0所决定的函数，且??x,y,t?是可微的，试求
dy。 dx?2t4．设z?z?x,y?由z?lnz??edt?0确定，求。
y?x?yx?t2?x?y?z?u?v?15．从方程组?2中求出ux，vx，ux2，vx2。 2222x?y?z?u?v?1?6．设z?u?x,y?eax?by?2u，且?0，试确定常数a，b，使函数z?z?x,y?能满足方
?x?y?2z?z?z程：???z?0。
?x?y?x?y7．证明：旋转曲面z?f?x2?y2(f??0)上任一点处的法线与旋转轴相交。
?8．试证曲面x?y?z?a(a?0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。
9．抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
10．设x轴正向到方向l的转角为?，求函数f?x,y??x2?xy?y2在点?1,1?沿方向l的方向导数，并分别确定转角?，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。
第八章 多元函数微分法及其应用
(A)
1．填空题
5
?2z?2z(1)若z?f?x,y?在区域D上的两个混合偏导数， 连续 ，则在D上，
?x?y?y?x?2z?2z。 ??x?y?y?x(2)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处可微的 必要 条件是z?f?x,y?在点?x0,y0?处的偏导数存在。
(3)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?可微是z?f?x,y?在点?x0,y0?处连续的 充分 条件。
2．求下列函数的定义域
(1)z?x?y 解：设定义域为D，由
y?0和x?y?0，即x2?y?0，x?0
y O (0,1) x 图1 得D??x,y?|x?0,y?0,x2?y，如图1所示 (2)u?arccos??zx?y22
解：设定义域为D，由
x2?y2?0，即x，y不同时为零，且即 z2?x2?y2，得
zx?y22?1，
D??x,y,z?|z2?x2?y2,x2?y2?0。 3．求下列各极限 (1)lim??sinxyxy (2)lim
x?0x?0xxy?1?1y?0y?0xy(xy?1?1)?sinxy???ylim?解：原式?lim? 解：原式 ?x?0?x?0xy(xy?1?1)(xy?1?1)?y?0?y?0 ?1?0?0 ?limxy?1?1?2
x?0y?0?? 6
1?cos(x2?y2)(3)lim2 x?0(x?y2)x2y2y?0??22??x?y22sin22?x?y?2解：原式?lim? ?22?x?02224xy?y?0??x?y?????2?????? ??111????? lim??2??0?x22xy?y?0??3z?3z4．设z?xln?xy?，求2及 2?x?y?x?y解：
?zy?ln?xy??x??ln?xy??1 ?xxy?2zy1?3z??，2?0， 2xyx?x?y?x?2zx1?3z1 ??，???x?yxyy?x?y2y25．求下列函数的偏导数 (1)z?arctgy x?z解：??x??y?x2???222?y??x?x?x?y1????x?1?z??x1?x?y?? ???22?y2?x?y?? 类似地
??y?x ???222?y??y?x?x?y1????x?(2)z?ln?xy? 解：
?z?1111 ?lnx?lny????x?x2lnx?lnyx2xlnxy?z1 ??y2ylnxy 同理可证得：
23(3)u?exyz
7
解：
23?23?z?exyzxy2z3?y2z3exyz ?x?x??223?u??exyzxy2z3?2xyz3exyz ?y?y??23?23?u?exyzxy2z3?3xy2z2exyz ?z?z??6．设z?uv2?tcosu，u?et，v?lnt，求全导数
?z??uv2?tcosu?v2?tsinu， ?u?u?z??z?uv2?tcosu?2uv，?cosu
?v?v?tdz。 dt解：
???? 依复合函数求导法则，全导数为
dz?zdu?zdv?zdt?????? dt?udt?vdt?tdt1uet?2uv??cosu?1 ?v2?tsint2et ?ln2t?tsinetet?etlnt?cost
????7．设u?ex?y?z?，x?t，y?sint，z?cost，求解：
du?udx?udy?udz ???dt?xdt?ydt?zdtdu。 dt ?ex?y?z??excots?exsint
t ?2etsin?x2?y2?z?8．曲线?，在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少？ 4?y?4?解：
?z2xx?z??，?x42?z?1?tg?，故???2,4,5??4。
x2y2z29．求方程2?2?2?1所确定的函数z的偏导数。
abc解：关于x求导，得到
2x2zc2x?2?zx?0，即zx??2 2acaz关于y求导，有
8
2yb2?2zc2yc2?zy?0，即zy??b2z。 10．设z?ye2x?xsin2y，求所有二阶偏导数。 解：先求一阶偏导数，得
?z?x?2ye2x?sin2y，?z?y?e2x?2xcos2y 再求二阶偏导数，得
?2z???z???x2??x???x????x?2ye2x?sin2y??4ye2x，
?2z??x?y???y??z???x?????y?2ye2x?sin2y??2e2x?2cos2y，
?2z???z??y?x??x????y???2x2x???y?e?2xco2sy??2e?2co2sy， ?2z?y2????y???z???y???2x???y?e?2xco2sy???4xsin2y 11．设z?f?x,y?是由方程xz?z?zz?lny确定的隐函数，求?x，?y。
解一：记F?x,y,z??xz?lnzy，则 Fy?z?1?x1x?zx??1z，Fy???z????y2????y，Fz??z2?z??x2 1 当F0时，便得Fz???zx?z?x??F??zz??x?2?x?z， z21?zFy?z2 ?y??F??y?。
z??x?zy?x?z?z2解二：（提示）直接对方程
xz?lnzy两边求偏导数，并明确z是x、9
y的函数，即可 ?z?x，?z?y。 12．设xy?ey?ex，求
dydx。 解：令F?x,y??xy?ey?ex，则Fyx??y?ex，Fy??x?e，则
dydx??Fx?F??y?ex x?ey。 y?13．设z?f?x,y?是由方程ez?z?xy3?0确定的隐函数，求?z?x，解：方程两边对x求偏导数，有
ez?z??z?y3?0，即ez?1?z?y3?x?x???x?0 解得 ?z?x?y31?ez 类似地，方程两边对y求偏导数，解得
?z3xy2 ?y?1?ez 再求二阶混合偏导数，得
?2z???z?3y2?1?ez??y3????ez?z??y???z?y??y???x??????1?ez?2
把上述
?z?y的结果代入，便得： ?2z3y2??1?ez?xy3ez?x?y???21?ez??3。
14．设z?yex2?cosy，求全微分dz。 解：由于
?z22?x?2xyex，?z?y?ex?siny，所以全微分为 dz??z?xdx??z?ydy?2xyex2dx??ex2?siny?dy。 15．求函数z?ln?2?x2?y2?在点?1,2?的全微分。
10
?z?2?y，z?x?y。得
解：
?z?x??1,2?2x2?x2?y2??1,2?2?z，7?y??1,2?2y2?x2?y2??1,2?4 7 所以dz?24dx?dy。 7716．利用全微分求
?2.98?2??4.01?2的近似值。
xx?y22解：设z?x2?y2，则全微分dz? 由近似关系?z?dz，得
?x?yx?y22?y
?x??x?2??y??y?2?x2?y2?xx?y22?x?yx?y22?y
上式中取x?3，?x??0.02，y?4，?y?0.01，得
?2.98?2??4.01?2?32?42?33?422???0.02??43?422?0.01
?0.008?4.996 ?5?0.012
因此，所求近似值
?2.98?2??4.01?2?4.996。
17．求抛物面z?x2?y2与抛物柱面y?x2的交线上的点P?1,1,2?处的切线方程和平面方程。
2??y?x解：交线方程?，只要取x作参数，得参数方程： 22??z?x?y?x?x,? ?y?x2,
?z?x2?x4,?则有
dxdydz?1，?2x，?2x?4x3，于是交线在点P?1,1,2?处的切线向量为dxdxdxT??1,2,6?。
切线向量为
x?1y?1z?2?? 126法平面方程为?x?1??2?y?1??6?z?2??0，即x?2y?6z?15?0。
x2y2z2???3上点P?2,?1,3?处的切平面方程和法线方程。 18．求曲面419 11
x2y2z2解：记F?x,y,z?????3，则
419Fx??x,y,z??x2，Fy??x,y,z??2y，Fz??x,y,z??z 29于是曲面在点P处的法线向量为
2???n??Fx??2,?1,3?,Fy??2,?1,3?,Fz??2,?1,3????1,?2,?
3??从而，切平面方程为1??x?2??2?y?1??方程为
x?2y?1z?3。 ??1?2232?z?3??0，即x?2y?2z?6?0，法线3319．求曲线x?4t，y?t2，z?t3上点M0?x0,y0,z0?，使在该点处曲线的切线平行3于平面x?2y?z?6。
解：曲线在点M0?x0,y0,z0?处的切线方程为
x?x0y?y0z?z0 ??x??t0?y??t0?z??t0?又切线与平面x?2y?z?6平行，即切线的方向向量和平面的法向量垂直，应有
422?0，得t0?? x??t0??1?y??t0??2?z??t0??1?0，即?4t0?3t033?848?所以M0点的坐标为??,,??。
?9927?20．求函数f?x,y??4?x?y??x2?y2的极值。
?fx?x,y??4?2x?0解：解方程组?，求得驻点?2,?2?，由于A?fxx?2,?2???2?0，
??fx,y??4?2y?0?yB?fxy?2.?2??0，C?fyy?2,?2???2，AC?B2?0，所以在点?2,?2?处，函数取得极大值，极大值为f?2,?2??9。
21．求函数f?x,y??e2xx?y2?2y的极值。
2x2??fx?x,y??e2x?2y?4y?1?0?1?解：解方程组?，得驻点?,?1?。由于2x?2???fy?x,y??e?2y?2??0????A?fxx?x,y??4e2xx?y2?2y?1，B?fxy?xy??4e2x?y?1?，C?fyy?x,y??2e2x在点
12
???1??1?22?,?1?处，A?2e?0，B?0，C?2e，AC?B?4e，所以函数在点?,?1?处取得?2??2?e?1?极小值，极小值为f?,?1???。
2?2?22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？
解：设水池的长为x米，宽为y米，高为z米，则材料造价为
u?20xy?16xz?x?y?，(x?0，y?0，z?0)，<*1> 且x，y，z必须满足
xyz?10， <*2>
从<*2>解出z???1?10代入<*1>，得u?20xy?160?，(x?0，y?0)，于是问题就成????xy?xy?为求u当x?0，y?0时的最小值，由极值的必要条件，有
160??u?20y??0;2??xx? ??u160??20x??0.2?y??y解此方程组得x?y?2。
据题意存在最小造价，而x?2，y?x是唯一驻点，所以当x?2，y?2，z?水池的材料造最小。
(B)
1．求下列函数的定义域
(1)z?arcsinx?y2?lnln10?x2?4y2 解：设定义域D。使arcnsi5时，2???????x?y?2有意义的区域为：x?y2?1，即?1?x2?y2?1，
y2?1?x?y2?1，使lnln10?x2?4y2有意义的区域为：10?x2?4y2?1，即
x24y2??1。 99???? 13
??x24y222故定义域D???x,y?|y?1?x?y?1,??1?。如图2
99?? (2)u?x2?y2?1 224?x?yx2?y2?1解：设定义域为D。由根式性质可知，必须?0，且4?x2?y2?0，即224?x?y2222???x?y?1?0?x?y?1?0或?解得： ?2222??4?x?y?0??4?x?y?0D??x,y?|1?x2?y2?4。如图3
y y 1.5 x x 0 0 1 3 0 图2 y??2．(1)设f?x?y,??x2?y2，求f?x,y?，f?x?y,xy?。 x??u?x??x?y?u???1?v解：设?y，则得?
uv?v?y???x?1?v?u2?1?v??u??uv?由此f?u,v??? ?????1?v1?v1?v????22x2?1?y?从而f?x,y?? 1?y2?x?y??1?xy? f?x?y,xy??1?xy(2)设f?x,y??x?2y，求f?xy,f?x,y??
解：f?xy,f?x,y???xy?2f?x,y??xy?2?x?2y??2x?4y?xy. 3．求下列函数的极限
14
?2??(1)lim?1?22?x???x?y?y???2x2?y2??
2x???2??1?解：原式?lim??22?x???x?y?y??????y22???4??e ??41(2) limex?0y?0x?y22?2?12sin?ex?y???1?? ??解：原式?limx?0y?0sinex?ex22?y21?y2?1
?xy,当(x,y)??0,0??4．设f?x,y???x4?y2，问limf?x,y?是否存在？
x?0y?0?0,当?x,y???0,0??解：①取沿直线y?x的途径，当P?x,y???0,0?时，有
limf?x,y??limy?xx?0y?xx?0x?x1?lim?1，
x4?x2x?0x2?1②沿抛物线y?x的途径，当P?x,y???0,0?时，有
limf?x,y??limxxx?lim?0 43?x?0x?xx?1x?0y?0y?xy?0?y?xx?0?可见，沿两条不同的途径，函数的极限不同，故极限limf?x,y?不存在。
?xsin?x?2y?,x?2y?5．讨论函数的连续性，其中f?x,y???x?2y。
?0,x?2y??sin?2x?y???x?解：在?0,0?处，limf?x,y??lim???0?f?0,0? x?0x?0?2x?y?y?0y?0?所以f?x,y?在?0,0?处连续
若x0?2y0?0，则取路径x?2y，?y0则
x?2yx?x0limf?x,y??limx?x?2yx?x0sin?x?2y??2y0?x0?f?x0,y0? x?2y因此，间断点为直线x?2y，除?0,0?以外的其他点。
15
?xy,?x,y???0,0??226．二元函数f?x,y???x?y在点?0,0?处：①连续，偏导数存在；
?0,?x,y???0,0??②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。
解：应选③ 事实上，由于limxyk，随k的值不同而改变，所以极限不存在，因而?222x?0x?y1?ky?kx?0?x?02??x??02f?x,y?在点?0,0?处不连续，又fx??0,0??lim?x?0?x?0，类似地fy??0,0??0，所以
f?x,y?在?0,0?处的偏导数存在。
7．设z?1?x2y，求
??y?z?z，。 ?x?y解：令u?1?x2y，v?y，于是z?uv，得
?z?z?u?z?v???? ?x?u?x?v?x?vuv?1?2xy?uvlnu?0?2xy21?x2y?z?z?u?z?v???? ?y?u?y?v?y?vuv?1?x2?uvlnu?1
??y?1，
?x2y1?x2y??y?1?1?x2yln1?x2y。
???y??f?2f8．设u?f2x?3y?2z，求，2。
?x?x?32??f?2f232?6xf?2x?3y?2z，2?12xf??36x4f??。 解：?x?x???f?2f9．设u?f2x,3y,2z，求，。
?z?z?x?32??f?2f?。 ?2f3?，?12x2f31解：
?z?z?x10．设z?xyfx2?y2,x2?y2，f可微，求dt。
16
??解：dz??z?z?z?zdx?dy，先求，
?x?x?y?y?z?yf?xy?f1??2x?f2??2x??yf?2x2y?f1??f2??， ?x?z?xf?xy?f1??2y?f2??2y??xf?2xy2?f1??f2??， ?y所以dz?yf?2x2y?f1??f2??dx?xf?2xy2?f1??f2??dy。 11．设f?xy,y?z,xz??0，求
?z?z，。 ?x?y????解：关于x求导，而z?z?x,y?，得
F1??y?F2???z?z???F3??z?x??0 ?x?x???z?0 (*) ?x即 F1??y?F3??z??F2??F3?x?得：
yF1??2F3??z ???xF2??F3??zF2??xF1?。 ????yF2?xF3相仿地，可得
12．设zx?yz?0，求dzx?1。
y?1z?1?z?F解：令F?z?y，??x?xxz?Fzxlnz， ??x?1z?zxz?ylny?z?F???y?ydz??Fzyz?1 ??x?1z?zxz?ylny?z?zdx?dy，于是在?1,1,1?处dz?dy。 ?x?y13．设z?f?rcos?,rsin??可微，求全微分dz。 解：dz?df?rcos??rsin?d???f1?d?rcos???f2?d?rsin??
sdr?rsin?d??f1???sin?dr?rco?sd??f2? ??co? ?f1??cos??f2?sin??dr??f2?cos??f1?sin??rd?。
17
14．设z?f?x,y?是由方程f?x?z,yz??0所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求dz，并由此求
?z?z和。 ?x?y解：方程两边求全微分，得
f1?d?x?z??f2?d?yz??0，即f1?dx?f1?dz?f2??zdy?udz??0， 即 f1?dx?zf2?dy??f1??yf2??dz?0，当f1??yf2???0时，解出 dz?f1?zf2?dx?dy
f1??yf2?f1??yf2?f1?zf2??z?z，。 ???xf1??yf2??yf1??yf2?由此得到
15．求z?x2?y2??xy的偏导数。
解：令u?x2?y2，v?xy，则z?uv，z是x，y的复合函数。
?z?z?vuv?1，?uvlnu， ?u?v?u?v?u?v?2x，?y，?2y，?x ?x?x?y?y?z于是，?vuv?1?2x?uvlnu?y?x2?y2?x??xy?2x2y22?ylnx?y?22?x?y????，
??z?vuv?1?2y?uvlnu?x?x2?y2?y??xy?2xy222?xlnx?y?22?x?y????
??x?y?z?0dxdy16．设?2，求，。 22dzdzx?y?z?1?解：所给方程组确定两个一元隐函数：x?x?z?和y?y?z?，将所给方程的两边对z求导，得
?dxdy???1??dzdz ?dxdy?2x?2y??2z?dz?dz在D?
11?2?y?z??0的条件下
2x2y18
?111?1?2z2y2x?2zdxy?zdyz?x，。 ????dzDx?ydzDx?y17．设u?e解：
xyz?3u，求。
?x?y?z?u?yzexyz， ?x?2u??zyexyz?zexyz?xyzexyz?z?1?xyz?exyz ?x?y?y?????3u??1?xyz?exyz?zxyexyz?z?1?xyz?exyzxy
?x?u?zz ?1?3xyz?x2y2z2exy.
??18．求函数u?xyz在点?5,1,2?处沿从点?5,1,2?到点?9,4,14?方向的方向导数。
?解：L??9?5,4?1,14?2???4,3,12?
?4312|L|?13，cos??,cos??，cos??。
131313因为
?u?u?u?u?cos??cos??cos? ?l?x?y?z4312yz?xz?xy 131313 ?所以
?u?l??5,1,2?421298。 ?2??10??5?1314131319．求函数u?xx2?y2?z2在点M?1,2,?2?沿x?t，y?2t2，z??2t4在此 点的
切线方向上的方向导数。
解：因曲线过M?1,2,?2?点，所以t0?1，x??t0??1，y??t0??4，z??t0???8，切线的
?148?方向余弦为?,,??，又ux?999?uzMM?y2?z2?x2?y2?z2?32M?8，类似地，uy27M??2，27?2?u81242?8?16???????，故。
27?l2792792792436x2?8y2?20．求函数u?在点P处沿方向n的方向导数。
z
19
??u?u?u??u解：gradu??,,?，
??x?y?z??x?u?y?P?P6xz6x?8y?z222P?614，
8yz6x?8y?2P?u?，
?z148?6x2?8y2??14
P由则
?u??gradu?n0，曲面的外侧法线向量为n??4x,6y,2z?P?2?2,3,1? ?u?u?68?1?2,3,1??11 。 ??,,?14???u?14147?1421．判断题：(简单说明理由) (1)
?f?x,y?就是f?x,y?在?x0,y0?处沿y轴的方向导数。 ?y?x0,y0?解：错。因前者是双侧极限，后者是单侧极限。 (2)若f?x,y?在?x0,y0?处的偏导数
?f?f，存在，则沿任一方向l的方向导数均存在。 ?y?y解：错。由于偏导数仅刻画了f?x,y?在?x0,y0?处沿x轴或y轴的变化率，要确定函数?x0,y0?处沿任一方向的变化率，还应要求此函数在?x0,y0?处可微。
22．证明曲面x?y?z?4上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。
证：令F?x,y,z??x23?y23?z23?4。由于曲面F?x,y,z??0的法向量是?Fx,Fy,Fz?，
11????2?122故曲面上任一点?x,y,z?处法线方向向量为?x3,y3,z3?，设?X,Y,Z?为点?x,y,z?33?3?2323232?32?32?3????处切平面上任一点，则切平面方程为xX?x?yY?y?z?Z?z??0，即333111xX?yY?zZ?4，其截距式为
16x23?y23?z23?16?4?64。
?13?13?13X4x?13?Y4y?13?Z4z?13 ?1，由此得截距的平方和为：
??23．证明：球面∑：x2?y2?z2?1上任意一点?a,b,c?处的法线都经过球心。 证：令F?x,y,z??x2?y2?z2?1，则??a,b,c??∑，
?F?x?a,b,c??2x?a,b,c??2a，
20
?F?y?a,b,c??2y?a,b,c??2b，
?F?z?a,b,c??2z?a,b,c??2c，法线方程为：
x?ay?bz?c??，于是任一法线都过原点。 2a2b2c24．求椭球面3x2?y2?z2?16上的一点??1,?2,3?处的切平面与平面z?0的交角。 解：设F?x,yz??3x2?y2?z2?16，则法向量为Fx??6x，Fy??2y，Fx??2z，在
????1,?2,3?处的法向量n???6,?4,6??2??3,?2,3?。又平面z?0的法向量n1??0,0,1?，由平面夹公式：
cos????3??0???2??0?3?11(?3)?(?2)?3?122?322，即??arccos322。
25．设u，v都是x，y，z的函数，u，v的各偏导数都存在且连续，证明：
rgad(uv)?vgradu?ugradv。
??uv????uv????uv??证：graduv?i?j?k
?x?y?z?v????u?v????u?v????u ??v?u?i??v?u?j??v?u?k ???x???y?y???z?z???x??u??u??u????v??v??v?? ?v???xi??yj??zk???u???xi??yj??zk??
???? ?vgradu?ugradv
26．问函数u?xy2z在P?1,?1,2?处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。
解：gradu??ux,uy,uz???y2z,2xyz,xy2? gradu?1,?2,2???2,4,1?是方向导数最大值的方向。
2 gradu?22???4??12?21是此方向导数的最大值。
x2y2z227．求内接于椭球面??2?2?1的最大长方体的体积。
abc解：设P?x,y,z?是内接长方体在第一褂限内的顶点，由对称性，长方体的体积为：
21
V?8xyz (x?0，y?0，z?0) (*1)
x2y2z2由于P?x,yz?在椭球面上，故x，y，z应满足条件：??2?2?1，于是问题即求函
abc数(*1)在约束条件（*2）下的条件极限问题。引入L——函数
?x2y2z2??F?x,y,z,???8xyz??????1?a2b2c2?
????Fx??Fy??令??Fz???F???2?x?0,(1)2a2?y?8xz?2?0,(2)b
2?z?8xy?2?0,(3)cx2y2z2?2?2?2?1?0(4)abc?8yz??2abc?，得唯一解：x?，y?，z? 3333得：8xyz?由题意，所求的最大体积存在故以点(接于椭球面的长方体的体积最大。 最大体积为V?8?a3,
b3,
c3)为一个顶点所作的对称于坐标面的内
a3?b3?c3?83abc。 928．某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R与报纸广告费x及电视广告费y(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：
R?15?14x?31y?8xy?2x2?10y2，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最优广告策略。
解；作L——函数：F?x,y,z??15?14x?31y?8xy?2x2?10y2???x?y?1.5?
?Fx?13?8y?4x???0?令?Fy?31?8x?20y???0 ??F??x?y?1.5?0?2x?6y?9得?，得唯一解：x?0，y?1.5。 ?x?y?1.5又由题意，存在最优策略，所以将1.5万全部投到电视广告的方案最好。
22
29．求函数f?x,y??ex?y的n阶麦克劳林公式，并写出余项。
n?x?y解：f?0,0??1，fx?0,0??1，fy?0,0??1，同理fx?mn?m?0,0??eyn?x?y??R121n2?1??x?y??x?2xy?y????x?y??Rn??n2!n!k!k?0k?0,0??1，所以其
中
ex?y??Rn?x?y??x?y?（0???1）。 e?n?1?!30．利用函数f?x,y??xy的2阶泰勒公式，计算1?11.02的近似值。 解：在点?1,1?处将f?x,y??xy展开成三阶泰勒公式：
f?1,1??1，fx?1,1??yxy?1fxx?1,1??y?y?1?xy?2fyy?1,1??xyln2x?1,1??1,1??1,1??1，fy?1,1??xylnx?1,1??0，
?0，fxy?1,1??xy?1?yxy?1lnx???1,1??1，
?0
1?2?x?1??y?1???R2 2!所以f?x,y??f?1??x?1?,1??y?1???xy?1??x?1???1??x?1???x?1??y?1?
故1?11.02?1?0.1?0.1?0.02?1.102。
(C)
1．证明limx?0y?0xyx?y2222?0。
x2?y2证明：因为x?y?2xy，即|xy|?
2 所以
xyx?y22?x2?y22x?y22?x2?y2 2 ???0，取??2? 当0?x2?y2??时，就有
xyx?y所以limx?0y?022?0?x2?y2???? 22xyx?y22?0。
23
2．设f?x,y??|x?y|??x,y?，其中??x,y?在点?0,0?，邻域内连续，问(1)??x,y?在什么条件下，偏导数fx??0,0?，fy??0,0?存在；(2)??x,y?在什么条件下，f?x,y?在?0,0?处可微。
分析：从定义出发，进行推演
f?0?x,0??f?0,0?x??x,0??0?lim?lim??x,0????0,0?
x?0x?0?x?0?xxf?0?x,0??f?0,0????x,0??????0,0? ?lim lim?x?0?x?0x解：(1)lim? lim?y?0f?0,0?y??f?0,0?y??0,y??lim?lim??0,y????0,0?
y?0?y?0?yyf?0,0?y??f?0,0????0,y??????0,0? ?lim?y?0y lim?y?0若??0,0??0，则偏导数fx??0,0?，fy??0,0?存在，且fx??0,0??fy??0,0??0。 (2)?f?f?0??x,0??y??f?0,0? ?|?x??y|???x,?y?
|?x??y|?x??y22?|?x|?|?y|?x??y22?2，
???0时，有
故若??0,0??0，当??x?2???y?2?f?fx??0,0??x?fy??0,0??y?2x??2y??
???x??y????x,?y??0
22??x????y?所以当??0,0??0时，f?x,y?在?0,0?处可微，且df?0。
3．设y?f?x,t?而t为由方程??x,y,t??0所决定的函数，且??x,y,t?是可微的，试求
dy。 dx分析：可依隐函数求导法则求出解；由y?f?x,t?，得
dy。 dxdy?f?fdt?? (1) dx?x?tdx24
由??x,y,t??0，得
????dy??dt?????0 (2) ?x?ydx?tdx将(2)代入(1)，得
?????dy???dy?f?f?x?ydx?? ??????dx?x?t?????t???f???f??? ??x?t?t?x。
?f??????t?y?t?2t4．设z?z?x,y?由z?lnz??edt?0确定，求。
y?x?yx?t2解：对z?lnz??e?tdt?0两边关于x求导，得
yx2?z1?z?x2??e?0， ?xz?x?zze?x解得：? (1)
?xz?12 原式两边对y求导，得
2?z1?z??e?y?0 ?yz?y 解得
?z?ze (2) ??yz?1?y2(1)式两边对y求导得
?z?x2?x2?ze?z?1??ze2?2ze?x?z?y?y?? 22?x?y?y?z?1??z?1?22?2z?ze??x?y?以(2)式代入即得： ?3?x?y?1?z??x?y?z?u?v?15．从方程组?2中求出ux，vx，ux2，vx2。 2222?x?y?z?u?v?1
25
解：将u，v看作x，y，z的函数，将方程组对x求偏导，得
?1?ux?vx?0 (*) ??x?u?ux?v?vx?0解得ux?x?vu?x，vx? v?uv?u再将方程组(*)对x求偏导数，得
??ux2?vx2?0 ?22??1?ux?u?ux2?vx?v?vx2?0解得：ux2?x?v??u?x?1??????221?ux?vxv?uv?u???? ??v?uv?u?x?v??u?x?1??????221?ux?vxv?uv?u???? ??u?vu?vax?by2222 vx26．设z?u?x,y?e?2u，且?0，试确定常数a，b，使函数z?z?x,y?能满足方
?x?y?2z?z?z程：???z?0。
?x?y?x?y解：
?z?uax?by??u??e?aueax?by???au?eax?by， ?x?x??x?
??u?ax?by?z?uax?by?， ?e?bueax?by???bue???y?y??y??2z??2u?u?ax?by??u?ax?by? ???ae??au??be???x?y??x?y?y???x???2u?ax?by?u?u ?? ??x?y?b?x?a?y?abu??e????u?ax?by?u? ??， b?a?abue??x??y??代入方程得
??ax?by?u?u??????a?1y?b?1?ab?a?b?1ue?0 ???y?x??故必须a?1，b?1。
26
7．证明：旋转曲面z?f证明：因为
?2x2?y2(f??0)上任一点处的法线与旋转轴相交。
??z??xxx?y2f?，
?z??yyx?y22f?
所以，在?x0,y0,z0?处法线方程为：
x?x0x0x?y220?f?y?y0y0x?y22?f?z?z0 ?1当x?y?0时，z?z0?f?x?y?22x0?y02020?
22?x?y00即法线与旋转轴的交点为?0,0,z0?22??fx?y00?????。 ??8．试证曲面x?y?z?a(a?0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。
11????1?,,证明：设F?x,y,z??x?y?z?a，则n???，在曲面上任取??2x2y2z??一点M?x0,y0,z0?，则在点M处的切平面方程为
1x0即
?x?x0??zz0yay01y0?y?y0??1z0?z?z0??0，
xx0?yy0x??x0?y0?z0?a，化为截距式，得
zaz0ax0???1。
所以截距之和为
ax0?ay0?az0?a?x0?y0?z0?a。
?9．抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上点的坐标为?x,y,z?，则原点到椭圆上这一点的距离平方为
d2?x2?y2?z2，其中?x,y,z?同时满足z?x2?y2和x?y?z?1，令
27
F?x,y,z??x2?y2?z2??1z?x2?y2??2?x?y?z?1?，由
?Fx?2x?2?1x??2?0,??Fy?2y?2?1y??2?0,的前两个方程知x?y。 ??Fz?2z??1??2?0,??将x?y代入z?x2?y2和x?y?z?1得
z?2x2和2x?z?1，再由2x2?2x?1?0解得x?y??1?3，z?2?3，由题2意这种距离的最大值最小值一定存在，所以必在这两点处取得，因为
d2?x2?y2?z2
??1?3???2?32???2??2??2?9?53
所以d1?9?53为最长距离；d2?9?53为最短距离。
10．设x轴正向到方向l的转角为?，求函数f?x,y??x2?xy?y2在点?1,1?沿方向l的方向导数，并分别确定转角?，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。
解：
?f?f?f?cos??sin? ?l?x?y ??2x?y?co?s???x?2y?sin?
?f?l?cos??sin?
?1,1?故所求的方向导数为cos??sin??0???2??
???5???f???f? ????sin??cos?，令???0，得驻点??，
44?l?l????????f?因为????l?????4???cos??sin??????0，所以??4?4为极大值点。
??f?因为????l????5?4???cos??sin????5??0，所以??45?为极小值点。 4 28
比较
?f?l?cos??sin?在??0、
?1,1??5?、、2?的值1，2，?2，1。
445??f时，4?l知：当???4时，
?f?l有最大值，当???1,1?有最小值。
?1,1?令
?f?l?cos??sin??0，设???1,1?3?7?或?? 44故当??3?7??f或??时，44?l?0。
?1,1?注：若只需求方向导的最大值及其转角?，则可用梯度来求，
?f?l取得最大
?1,1???f?f?值的方向为gradf?x,y???,???2x?y,?x?2y?在?1,1?点处的方向
??x?y?gradf?1,1???1,1?，由co?s?gradf?1,1??2。
12，sin??1??f得??，r24?l的最大值
?1,1? 29