∵DE∥AC，

∴∠CDE＝∠DCA＝45°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE与⊙O相切； （2）∵⊙O的半径为5， ∴AC＝10， ∴AD＝CD＝5

，

∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝8， ∴BC＝6，

∵∠BAD＝∠DCE， ∵∠ABD＝∠CDE＝45°， ∴△ABD∽△CDE， ∴∴∴CE＝

＝＝． ，

，

20．（2019?镇江）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）． （1）∠ABC＝ 30 °；

（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．

参考值：sin78°≈0.98，cos78°＝0.21，tan78°≈4.7．

解：（1）∵五边形ABDEF是正五边形， ∴∠BAF＝

＝108°，

∴∠ABC＝∠BAF﹣∠BAC＝30°， 故答案为：30； （2）作CQ⊥AB于Q， 在Rt△AQC中，sin∠QAC＝

，

∴QC＝AC?sin∠QAC≈10×0.98＝9.8， 在Rt△BQC中，∠ABC＝30°， ∴BC＝2QC＝19.6， ∴GC＝BC﹣BG＝9.6．

21．（2019?宿迁）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝．

（1）求证：四边形AECF是菱形； （2）求线段EF的长．

（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，

∴CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°， ∵BE＝DF＝， ∴CF＝AE＝4﹣＝， ∴AF＝CE＝

＝，

∴AF＝CF＝CE＝AE＝， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：过F作FH⊥AB于H， 则四边形AHFD是矩形， ∴AH＝DF＝，FH＝AD＝2， ∴EH＝﹣＝1， ∴EF＝

＝

＝

．

22．（2019?泰州）如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）． （1）求证：△AEP≌△CEP；

（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由； （3）求△AEF的周长．

解：（1）证明：∵四边形APCD正方形， ∴DP平分∠APC，PC＝PA， ∴∠APD＝∠CPD＝45°， ∴△AEP≌△CEP（AAS）； （2）CF⊥AB，理由如下： ∵△AEP≌△CEP， ∴∠EAP＝∠ECP， ∵∠EAP＝∠BAP， ∴∠BAP＝∠FCP，

∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP， ∴∠AMF+∠PAB＝90°， ∴∠AFM＝90°， ∴CF⊥AB；

（3）过点 C 作CN⊥PB．

∵CF⊥AB，BG⊥AB， ∴FC∥BN，

∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB， 又AP＝CP，

∴△PCN≌△APB（AAS），