（1）证明：连接AB，如图所示： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠OCD， ∴∠ABC＝∠OCD， ∵OD⊥AO， ∴∠COD＝90°， ∴∠D+∠OCD＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠D， ∴∠OBD+∠ABC＝90°， 即∠ABO＝90°， ∴AB⊥OB， ∵点B在圆O上， ∴直线AB与⊙O相切； （2）解：∵∠ABO＝90°， ∴OA＝∵AC＝AB＝5， ∴OC＝OA﹣AC＝8， ∴tan∠BDO＝故答案为：．

＝

＝； ＝

＝13，

18．（2019?扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′． （1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为 4 ； （2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为 5 ；

（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．

解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8， ∵PB＝4，

∴PB′＝PB＝PA＝4， ∵∠A＝60°，

∴△APB′是等边三角形， ∴AB′＝AP＝4． 故答案为4．

（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．

∵PE∥AC，

∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°， ∴△PEB是等边三角形， ∵PB＝5，

∴∵B，B′关于PE对称， ∴BB′⊥PE，BB′＝2OB ∴OB＝PB?sin60°＝∴BB′＝5故答案为5

． ．

，

（3）如图3中，结论：面积不变．

∵B，B′关于直线l对称， ∴BB′⊥直线l， ∵直线l⊥AC， ∴AC∥BB′， ∴S△ACB′＝S△ACB＝

?8＝16

2

．

（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，

设直线PB′交AC于E，

在Rt△APE中，∵PA＝2，∠PAE＝60°， ∴PE＝PA?sin60°＝∴B′E＝6+

，

）＝4

+24．

的中点，过点D作

，

∴S△ACB′的最大值＝×8×（6+

19．（2019?泰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为DE∥AC，交BC的延长线于点E．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．

解：（1）DE与⊙O相切， 理由：连接OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵D为∴

＝

的中点， ，

∴AD＝CD， ∴∠ACD＝45°， ∵OA是AC的中点， ∴∠ODC＝45°，