（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB，

∵△ABC平移得到△DEF， ∴AB∥DE， ∴∠B＝∠DEC， ∴∠ACB＝∠DEC， ∴OE＝OC，

即△OEC为等腰三角形；

（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，

理由是：∵AB＝AC，E为BC的中点， ∴AE⊥BC，BE＝EC， ∵△ABC平移得到△DEF， ∴BE∥AD，BE＝AD， ∴AD∥EC，AD＝EC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵AE⊥BC，

∴四边形AECD是矩形．

9．（2019?苏州）已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2

cm．如

图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm），S与t的函数关系如图②所示． （1）直接写出动点M的运动速度为 2 cm/s，BC的长度为 10 cm；

（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v

2

（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm），S2（cm） ①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；

②试探究S1?S2是否存在最大值，若存在，求出S1?S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由。

2

2

解：（1）∵t＝2.5s时，函数图象发生改变， ∴t＝2.5s时，M运动到点B处， ∴动点M的运动速度为：∵t＝7.5s时，S＝0，

∴t＝7.5s时，M运动到点C处， ∴BC＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm）， 故答案为：2，10；

（2）①∵两动点M，N在线段BC上相遇（不包含点C）， ∴当在点C相遇时，v＝当在点B相遇时，v＝

＝（cm/s）， ＝6（cm/s）， ＝2cm/s，

∴动点N运动速度v（cm/s）的取值范围为cm/s＜v≤6cm/s； ②过P作EF⊥AB于F，交CD于E，如图3所示： 则EF∥BC，EF＝BC＝10， ∴

＝

，

＝5，

，

∵AC＝∴

＝

解得：AF＝2，

∴DE＝AF＝2，CE＝BF＝3，PF＝∴EP＝EF﹣PF＝6， ∴S1＝S△APM＝S△APF+S2x+15，

梯形

＝4，

PFBM﹣S△ABM＝

×4×2+（4+2x﹣5）×3﹣×5×（2x﹣5）＝﹣

S2＝S△DPM＝S△DEP+S梯形EPMC﹣S△DCM＝×2×6+（6+15﹣2x）×3﹣×5×（15﹣2x）＝2x， ∴S1?S2＝（﹣2x+15）×2x＝﹣4x+30x＝﹣4（x﹣∵2.5＜∴当x＝

＜7.5，在BC边上可取， 时，S1?S2的最大值为

．

2

）+

2

，

10．（2019?淮安）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．

解：（1）直线DE与⊙O相切， 连结OD． ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠CAD， ∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，即∠AED＝90°， ∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； （2）过O作OG⊥AF于G， ∴AF＝2AG，

∵∠BAC＝60°，OA＝2， ∴AG＝OA＝1， ∴AF＝2， ∴AF＝OD，

∴四边形AODF是菱形， ∴DF∥OA，DF＝OA＝2， ∴∠EFD＝∠BAC＝60°， ∴EF＝DF＝1．

11．（2019?连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上．

（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；

（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方