∴CN＝PB＝BF，PN＝AB， ∵△AEP≌△CEP， ∴AE＝CE， ∴AE+EF+AF ＝CE+EF+AF ＝BN+AF ＝PN+PB+AF ＝AB+CN+AF ＝AB+BF+AF ＝2AB ＝16．

23．（2019?宿迁）在Rt△ABC中，∠C＝90°．

（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F．求证：∠1＝∠2； （2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件： ①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切． （尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

解：（1）证明：如图①，连接OF，

∵AC是⊙O的切线， ∴OE⊥AC， ∵∠C＝90°， ∴OE∥BC，

∴∠1＝∠OFB， ∵OF＝OB， ∴∠OFB＝∠2， ∴∠1＝∠2．

（2）如图②所示⊙M为所求．①

①作∠ABC平分线交AC于F点，

②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆， 即⊙M为所求．

证明：∵M在BF的垂直平分线上， ∴MF＝MB， ∴∠MBF＝∠MFB， 又∵BF平分∠ABC， ∴∠MBF＝∠CBF， ∴∠CBF＝∠MFB， ∴MF∥BC， ∵∠C＝90°， ∴FM⊥AC，

∴⊙M与边AC相切． 24．（2019?镇江）【材料阅读】

地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的． 【实际应用】

观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON． （1）求∠POB的度数；

（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上

的长．（π取3.1）

解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示：

则∠DHC＝67°，

∵∠HBD+∠BHD＝∠BHD+∠DHC＝90°， ∴∠HBD＝∠DHC＝67°， ∵ON∥BH，

∴∠BEO＝∠HBD＝67°， ∴∠BOE＝90°﹣67°＝23°，

∴

＝

＝3968（km）．

25．（2019?宿迁）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）． （1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；

（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；

（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．

解：（1）如图②中，

由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点， ∴DE∥AC， ∴∴

＝＝

， ，

∵∠DBE＝∠ABC， ∴∠DBA＝∠EBC，