第十一章 资产市场
11.1 一块地上种着圣诞树。在从现在开始的10年后的12月1日这些树将可以长成材。到那时，每英亩标准的圣诞树可以卖1000美元。在树被砍伐之后，土地的价值是每英亩200美元。没有税收或者营业费用，在树长成被砍伐之前，也没有任何土地收益。利率是10%。
(a) 我们预期土地的市场价值可能是多少？
(b) 假设圣诞树不一定非要在10年后才能出售，而是可以在任何一年里出售。如果这些树在其树龄小于10年时被伐，其价值为零。而在树龄为10年后，每英亩树的价值是1000美元，并且在随后的20年里，每英亩的价值将增加100美元。在树被砍伐之后，种树的土地总是能够以每英亩200美元的价格出售。为了最大化从树和土地上得到的收益的现值，应该何时砍伐这些树？ 一英亩土地的市场价值将是多少？
11.2 底特律Felines队的公开代言人宣布了与一个令人瞩目的新四分卫Archie Parabolar的签约。他们说这一合同价值1000000美元，将从现在开始的一年后分20年进行支付，每年50000美元。这一合同中包含一个条款，该条款能保证Archie即使是伤，一场比赛不能参加，也能拿到所有的钱。体育记者们宣称，Archie成了一个“瞬时的百万富翁”。
(a) Archie的哥哥Fenwick的专业是经济学。他对Achie解释说，Archie并不是百分富翁。事实上，他的合同价值小于50万美元。用文字解释一下为什么是这样的。 Archie的大学课程“体育管理”中没有现值这一部分，所以他哥哥试着把计算过程推导给看他。以下是推导过程：
(b) 假设利率是10%，并预计将一直保持10%。如果从一年以后开始，需要永久性地每年支付给Archie和他的继承人1美元，那么购买Archie需要花费该队多少钱？ (c) 从一年以后开始，永久性地每年支付50000美元时，购买一个永久的球员需要花费多少钱？
在上一部分，如果Archie将永久性地每年得到50000美元，你已经求出了他的合同的现值。但是Archie并不能永久性地每年得到50000美元，这一支付在20年后将会中止。Archie的实际合同的现值等于如下合同的现值，即该合同永久地每年支付给他50000美元，但是从第21年开始，Archie必须永久性地每年返还50000美元给队里。因此，相对于现在，永久性地每年得到50000美元的现值减去从第21年开始、永久性地每年支付50000美元的现值，你就可以求出Archie的合同的现值。
(d) 如果利率是10%，并将一直保持在这个水平上，那么从第21年开始的每年50000美元的支付流，将与从现在开始的第20年里一次性的总额为 美元的收入的现值相同。
(e) 如果利率是10%，并将一直保持在这个水平上，那么从现在开始的第21年后，永久性地每年支付50000美元的现值是多少？
(f) 现在计算Archie的合同的现值？
11.3 你是P.Bunyan森林公司的业务经理，你要决定何时砍伐树木。如果树龄达到t年，则木材的市场价值由以下方程给出：W(t)=e0.20t-0.001t。Bunyan先生每年可从银行得到5%的利率。
在树龄达到 年后，树木价值的增长率将大于5%。（提示：由初等的微积分可知，如果F(t)=et(t)，则F’(t)/F(t)=g’(t)。）
(a)如果Bunyan先生只是将树木作为一种投资，那么他应该让这些树生长多少年？
(b) 树龄为多少时这些树木的市场价值将达到最大？
11.4 你预计某幅油画的价格将以每年8%的比例一直上涨下去。市场借贷的利率是10%。假设买或卖没有经纪费用。
(a) 如果你现在以x美元的价格买下这幅画并在一年以后卖出，那么拥有这幅画而不是把这x美元以市场利率贷出去，给你带来的成本是多少？
(b) 为拥有这幅画，你愿意每年支付100美元。写出一个方程，根据该方程你可以解出你刚好愿意为这幅画支付的价格x。
(c) 你愿意为买这幅画支付多少钱？
11.5 Fisher Brown在普通债券上的收入税税率是40%。普通债券的利息率是10%。市政债券的利息无需缴税。
(a) 如果市政债券的利息率是7%，他是应该买市政债券还是普通债券？ (b) Hunter Black比Fisher Brown挣的钱少，他在普通债券上的收入税税率只有25%。他应该买哪种债券？
(c) 如果Fisher在债券上投资了1000000美元，Hunter在债券上投资了10000美元，那么Fisher为其债券利息支付多少税收？ Hunter为其债券利息支付多少税收呢？
(d) 政府正在考虑一种新的税收方案，在这一方案下，利息收入无需缴税。如果这两种债券上的利息率都不变，允许Fisher和Hunter调整自己的投资组合，则Fisher的税后收入将会增加多少？ Hunter的税后收入又会增加多少呢？
(e) 如果利息率都不变，税法的变化将会使得市政债券的需求量如何变化？
(f) 为了吸引购买者，新发行的市政债券必须支付多高的利息率？
2(g) 你认为最初有7%的利息率的旧市政债券的市场价格会发生什么变化？
11.6 No博士有一张James公司发行的债券，序列号是007。该债券在随后的三年时间里每年支付200美元的利息，三年后债券到期并支付2000美元的面值。
(a) 利率为10%时，James公司的007债券对No博士来说值多少钱？ (b) 利率为5%时，James公司的007债券有多值钱呢？ (c) Yes女士愿意出2200美元买No博士的James公司007债券。如果利率是10%，No博士是应该接受还是拒绝Yes女士的出价？ 如果利率是5%呢？
(d) 为了毁灭世界，No博士雇用Know教授研制一种肮脏的意志电波。为了把Know教授从他所在的大学里吸引过来，No博士必须每年支付给Know教授200美元。这种肮脏的意志电波需要三年时间研制，并且最后可用2000美元造好。如果利率是5%，为了对这一卑鄙的项目进行融资，No博士今天必须筹到多少钱？ 在利率为10%时，世界会因为No博士而有更多的危险还是更少的危险？
11.7 你可能已经认识到了，经济学是一门很难的专业。这种辛苦有什么回报吗？上题中讨论过的美国人口普查报告表明可能是有回报的。该报告中有这样一些表格，这些表格记载的是不同领域的学位获得者的工资收入。对于学士学位，最有吸引力的专业是经济学和工程学。经济学家的平均工资收入每年大约是28000美元，工程师的大约是每年27000美元。心理学专业的平均年工资收入大约为15000美元，英语专业的大约为14000美元。
(a) 你能对这些差异作出一些解释吗？ (b) 同一个表格还表明，拥有商学高级学位的一个普通人每年可挣38000美元，而拥有医学学位的普通人每年可挣45000美元。获得学士学位要花四年时间，假设商学高级学位要在获得学士学位后再学两年才能得到，而医学学位要在获得学士学位后再学四年才能得到。假设你现在22岁，刚刚大学毕业。r=0.5，如果获得商学高级学位，工资为拥有这一学位的人的平均工资，并且在65岁时退休，计算此时你一生收入的现值。 对医学学位也做类似的计算。
第十二章 不确定性
12.1 Willy有一个位于河附近的小巧克力厂。这条河春天时有时会发洪水，洪水的后果十分严重。Willy打算明年夏天卖掉工厂退休。他将拥有的唯一的收入是卖掉工厂的收益。如果没有发洪水，工厂将值500000美元。如果发洪水，洪水后工厂剩余的部分将只值5000美元。Willy可以购买洪水保险，每投保1美元要交纳0.10美元的保险费。Willy认为春天有洪水的可能性是1/10。令cF表示有洪水时的或有商品消费量，CNF表示没有洪水时的或有商品消费量。Willy的冯·诺伊曼-摩根斯坦效用函数是U(cF,cNF)?0.1cF?0.9cNF
(a) 如果他不买保险，则每种情况下，Willy的消费将等于他工厂的价值。因此Willy的或有商品束是(cF, cNF)= 。
(b) 为了能在发洪水时得到x美元的保险赔偿，Willy必须支付的保险费是0.1x美元。（无论有没有洪水都必须支付这一保险费。）如果Willy投保x美元，那么如果发洪水，他将得到x美元的保险收益。假设Willy签了份保险合同，这份保险合同将在发洪水时支付给他x美元。这样在支付了保险费后，他将能消费cF= 。如果Willy投的保险是x美元并且没有发洪水，则他能够消费cNF= 。
(c) 从上面求出的关于cF和cNF的方程中消去x就可以得到Willy的预算方程。当然，这一预算方程有许多等价的形式，因为在预算方程的两边同时乘以一个正的常数后得到的式子与原来的式子是等价的。表明cNF的“价格”为1的预算方程的形式可以写成是0.9cNF+ cF= 。
(d) Willy在两种或有商品，即没有洪水时的消费和有洪水时的消费之间的边际替代率是
MRS(cF,cNF)??或有商品。
0.1cNF0.9cF。为求出他最优的或有消费束，必须使他边际替代率的值等于
。解这一方程，你会求得Willy将以 的比率消费这两种
(e) 已知Willy消费cF和cNF的比率和他的预算方程，你可以求出他最优的消费束，这一消费束(cF, cNF)= 。Willy将会购买一份能在发洪水时支付给他 美元的保险。他必须支付的保险费是 。
12.2 Hjalmer Ingqvist的养子Earl有些不良习性。事实证明Earl喜欢赌博。他对或有消
22费束的偏好可由如下的效用函数表示：u(c1, c2, π1, π2)= π1c1+π2c2。
(a) 刚好有一天，一些男孩正待在Skoog酒馆里，这时Earl进来了。他们开始讨论能让Earl接受多坏的赌局。当时Earl有100美元。Kenny Olson洗了一副牌，并提议如果Earl从这副牌中抽不到黑桃，Earl就输给他20美元。假设Earl相信Kenny不会做假，则Earl赢得该赌局的概率是1/4，而输掉该赌局的概率是3/4。如果Earl赢得该赌局，他将有 美元；如果他输掉该赌局，他将有 美元。而如果他不接受这一赌局，他的期望效用将是 。因此他拒绝这一赌局。
(b) 正当他们认为Earl可能改变了行径之时，Kenny又给出了一个赌局。除了赌注是100美元而不是20美元以外，这个赌局与上面的赌局一样。如果Earl接受这一赌局，他的期望效用是多少？ Earl愿意接受这一赌局吗？
(c) 令事件1表示从一副完整的牌中抽到的是黑桃，事件2表示抽到的不是黑桃。Earl在事件1时的收入c1和事件2时的收入c2之间的偏好可以由方程 表示。用蓝笔在下图中画出Earl通过点（100,100）的无差异曲线。
12.3 上一道题中的Sidewalk Sam对两种自然状态下的消费的效用函数是
-??u(cs, cr, ?)?c1scr，其中cs是他晴天时消费的美元价值，cr是他雨天时消费的美元价值，
π是下雨的概率。而下雨的概率π=0.5。
(a) Sam雨天时最优的消费量是多少单位？ (b) Sam购买多少张雨天票最优？
12.4 Sidewalk Sam的哥哥Morgan von Neumanstern是一个期望效用最大化者。他关于财富的冯·诺伊曼-摩根斯坦效用函数是u(c)=lnc。Sam的哥哥在大西洋城的另一个海滩边卖太阳镜。他每天挣的钱与Sam的一样多。他可以像Sam那样在娱乐城里玩赌博游戏。
(a) 如果Morgan认为每天天晴和下雨的概率都是50%，则他消费(cs, cr)时的期望效用是多少？
(b) Morgan的效用函数与Sam的效用函数相比如何？其中一个效用函数是另一个的单调变换吗？
(c) Morgan最优的消费组合是什么？答案：Morgan将在晴天消费 ，在雨天消费 。这一消费组合与Sam的相比如何？
12.5 得克萨斯州Mule Shoe的Billy John Pigskin的冯·诺伊曼一摩根斯坦效用函数是
u(c)?c。Billy John大约重300磅，他跑得比长耳兔和送比萨的车还快。Billy John将在
大学橄榄球队里开始四年级的生活。如果他不受重伤，他打职业橄榄球的收入将是1000000美元。如果他因受伤而结束橄榄球生涯，他将会在家乡当一名垃圾清扫工，收入是10000美元。Billy John受重伤而不得不结束橄榄球生涯的概率是10%。
(a) Billy John的期望效用是多少？
(b) Billy John购买了p美元的保险，如果他在大学期间受重伤而结束橄榄球生涯，他将
得到1000000美元的保险支付。这样无论出现什么情况，他都肯定有1000000-p美元的收入。通过解方程可以求出Billy John愿意为这样的一份保险支付的最高价格。写出该方程。
(c) 解该方程求出p。
12.6 一张彩票的确定性等价是指你确定性地拥有的一笔钱，这笔钱使得你的状况与拥有这张彩票时的状况一样好。假设有一张彩票是事件1发生时你得到x，事件1不发生时得到y。你在这张彩票上的冯·诺伊曼-摩根斯坦效用函数是U(x,y,?)??x?(1??)y，其中π是事件1发生的概率，1-π是事件1不发生的概率。
(a) 如果π=0.5，计算如下彩票的效用，该彩票是如果事件1发生你得到10000美元，反之得到100美元。
(b) 如果你能确定性地得到4900美元，你的效用是多少？ （提示：如果你能确定性地得到4900美元，那么你在两种情况下都得4900美元。） (c) 给定这一效用函数以及π=0.5，写出如下彩票的定确性等价的一般表达式，该彩票是事件1发生时你得到x，事件1不发生时得到y。
(d) 如果事件1发生时你得到10000美元，事件1不发生时得到100美元，计算此时的确定性等价。
12.7 Dan Partridge是一个风险回避者，他希望最大化自己的期望效用c，其中c是他的财富。Dan有50000美元的安全资产，他还有一套房子，这套房子所在的地方经常发生森林火灾。如果房子烧毁了，则房子的残余部分以及盖房子的那块地就只值40000美元，从而Dan的总财富就是90000美元。如果房子没有烧毁，其价值是200000美元，从而Dan的总财富就是250000美元。房子被烧毁的概率是0.01。
(a) 如果他没有购买火为险，计算他的期望效用。
(b) 如果他没有购买火灾险，计算他所面临的彩票的确定性等价。 (c) 假设他可以购买保险，每100美元保险的价格是1美元。例如，如果他购买价值100000美元的保险，那么无论发生什么情况，他都必须支付给保险公司1000美元。但是如果他的房子烧毁了，他可以从保险公司那里得到100000美元。如果Dan购买价值160000美元的保险，他将得到完全的保险，意思是说，无论发生什么情况，他的税后财富都是 。
(d) 因此，如果购买完全的保险，他的财富的确定性等价是 ，他的期望效用是 。
第十三章 风险资产
13.1 Fenner Smith正在考虑在两种资产之间分配其财富。其中风险资产的期望收益率是30%，标准差是10%；而安全资产的期望收益率是10%，标准差是0%。
(a) 如果Smith先生将其财富的x%投资在风险资产上，则其期望收益是多少？ (b) 如果Smith先生将其财富的x%投资在风险资产上，则其财富的标准差是多少？ (c) 解以上两个方程，求出作为标准差的函数的Smith先生财富的期望收益。 (d)在下图中画出这条“预算线”。
(e) 如果Smith先生的效用函数是u(rx,?x)?min{则Smith先生最优的rx,30?2?x}，rx的值是 ，最优的σx的值是 。
（提示：你必须解关于两上未知变量的两个方程。其中的一个方程是预算约束方程。） (f) 标出Smith先生的最优选择点，并画出一条通过该点的无差异曲线。 (g) Smith先生将在风险资产上投资多大份额的财富？
13.2 牧场主Alf Alpha有一个位于沙山上的牧场。牧场带给他的收益是一个依赖于降雨量的随机变量，多雨的年份收益高，干旱的年份收益低。该牧场的市场价值是5000美元，期望收益是500美元，标准差是100美元。降雨量每超过平均降雨量一英雨，利润就增加100美元；相反，每低于平均降雨量一英寸，利润就减少100美元。牧场主Alf另外还有5000美元准备投资在第二个牧场上。他可以选择购买的牧场有两个。
(a) 其中的一个牧场位于一个不会发洪水的低地上。无论天气如何，该牧场每年的期望收益是500美元。如果Alf Alpha购买的第二个牧场是该牧场，则其总投资的期望收益率是多少？ 此时其收益率的标准差是多少？
(b) 他可以购买的另外一个牧场紧挨着一条河。这使得该牧场在干旱年份的收益很好，但是在多雨的年份里，这条河会发洪水。这个牧场的价值也是5000美元。该牧场的期望收
益是500美元，标准差是100美元。降雨量每低于平均降雨量一英寸，利润就增加100美元；相反，每高于平均降雨量一英寸，利润就减少100美元。如果Alf购买的是这个牧场，并且仍然拥有他在沙山上的牧场，则他在其总投资上的期望收益率是多少？ 此时其总投资收益率的准差是多少？
(c) 如果Alf是一个风险回避者，那么他会选择哪一个牧场？为什么？
第十四章 消费者剩余
14.1 Quasimodo消费耳塞和其他商品。他对耳塞x和其他商品上所花的钱y的效用函数由u(x,y)=100x-x2/2+y给出。
(a) Quasimodo的效用函数是哪一种类型的？ (b) 他对耳塞的反需求曲线是什么？ (c) 如果耳塞的价格是50美元，则他会消费多少单位的耳塞？
(d) 如果耳塞的价格是80美元，他会消费多少单位的耳塞呢？ (e) 假设Quasimodo每月总共有4000美元可以花。如果耳塞的价格是50美元，那么他消费耳塞和其他商品的总效用是多少？
(f) 如果耳塞的价格是80美元，那么他消费耳塞和其他商品的总效用是多少？ (g) 当价格从50美元增加到80美元时，效用减少了 。 (h) 当价格从50美元增加到80美元时，消费者净剩余的变化量是多少？
14.2 你可以在下图中看到Sarah Gamp在黄瓜和其他商品之间的无差异曲线的图形。假设黄瓜和“其他商品”的参考价格都是1。
(a) 为购买一个与A点无差异的消费束，Sarah最少必须有多少钱？ (b) 为购买一个与B点无差异的消费束，Sarah了少必须有多少钱？ (c) 假设黄瓜的参考价格是2，其他商品的参考价格是1。为购买一个与A点无差异的消费束，她需要多少钱？
(d) 在新价格下，为购买一个与B点无差异的消费束，Sarah最少必须有多少钱？ (e) 无论Sarah面临的价格是多少，她购买一个与A点无差异的消费束所需的钱一定比购买一个与B点无差异的消费束所需的钱（更多，更少） 。
14.3 Ulrich喜欠计算机游戏和香肠。事实上，他的偏好可以由式u(x,y)=ln(x+1)+y表示，其中x是他玩的游戏的数量，y是他花在香肠上的美元数。令px表示计算机游戏的价格，m是他的收入。
(a) 写出能表示Ulrich的边际替代率等于价格比的表达式。（提示：还记得第6章中的Donald Fribble吗？）
(b) 因为Ulrich的偏好是 形式的，所以只要通过解该方程就可以求出他对计算机游戏的需求函数，也就是 。他对花费在香肠上的美元数的需求函数是 。
(c) 计算机游戏的价格是0.25美元，Ulrich的收入是10美元。则Ulrich需求 单位的计算机游戏和价值 美元的香肠。他从这一消费束中得到的效用是 （四舍五入到小数点后第二位）。
(d) 如果我们把Ulrich所有的计算机游戏都拿走，那么为了使他与原来的状况一样好，他必须在香肠上花多少钱？
(e)现在，每单位游戏要征收0.25美元的娱乐税，并且这一税收全部转移到消费者身上。
在这一税收下，Ulrich将需求 单位的计算机游戏和价值 美元的香肠。他从这一消费束中得到的效用是 （四舍五入到小数点后第二位）。
(f) 现在，如果我们把Ulrich所有的计算机游戏都拿走，要使他与选择征税后购买的消费束时的状况一样好，他必须在香肠上花多少钱？
(g) 因为税收产生的Ulrich的消费者剩余的变化量是多少？ 政府通过征税从Ulrich这里得到的税收是多少？
14.4 Lolita是一头聪明且美丽的荷兰牛，她只吃两种东西，牛饲料（由磨碎的玉米和燕麦做成）和干草。她的偏好由效用函数u(x,y)=x-x2/x+y表示，其中x是饲料的消费量，y是干草的消费量。Lolita学过预算和最优化的技巧，她总是在其预算约束下最大化自己的效用。Lolita的收入是m美元，她可以按照自己的意愿把钱花在饲料和干草上。干草的价格总是1美元，牛饲料的价格由p表示，并且0＜p≤1。
(a) 写出Lolita关于牛饲料的反需求函数。（提示：Lolita的效用函数是拟线性的。当y是计价物并且x的价格是p时，拟线性效用f(x)+y的反需求函数可能过求p=f’(x)而得到。） (b) 如果牛饲料的价格是p，Lolita的收入是m，她会选择多少干草？（提示：她的钱不是花在饲料上就是花在干草上。）
(c) 将这些值代入她的效用函数，求出她在这一价格和收入下能够达到的效用水平。
(d) 假设Lolita每天的收入是3美元，饲料的价格是0.50美元。她购买何种消费束？ 如果牛饲料的价格涨到1美元，那么她将购买何种消费束？ (e) 为避免牛饲料价格上涨到1美元，Lolita愿意支出多少钱？这是收入的（补偿，等价）变化。
(f) 假设牛饲料的价格涨到了1美元。在原来的价格下，为使她与原来的状况一样好，必须再给Lolita多少钱？ 该值就是 变化。被偿变化和等价变化哪一个更大，还是一样大？
(g) 在价格是0.5美元，收入是3美元时，Lolita的消费者净剩余是多少？
14.5 F.Flintstone有拟线性偏好，并且他对雷龙夹饼(Brontosaurus Burgers)的反需求函数是P(b)=30-2b。Flintstone先生当前以10美元的价格消费10单位的夹饼。
(a) 他愿意为这一消费量而不是根本就不消费夹饼支付多少钱？ 他的消费者净剩余是多少？
(b) Bedrock镇是雷龙夹饼的唯一供应地。该镇决定将每单位夹饼的价格从10美元提高到14美元。Flintstone先生消费剩余的变化量是多少？
14.6 Karl Kapitalist愿意在p>40的任意价格水平下生产p/2-20单位的椅子。在价格低于40时他将不生产。如果椅子的价格是100美元，Karl将生产 单位的椅子。在这一价格下，他的生产者剩余是多少？
14.7 Q. Moto女士喜欢敲教堂的钟，她喜欢每天敲10个小时。当x≤10时，她的效用函数是u(m,x)=m+3x，其中m是她在其他商品上的支出，x是她敲钟的小时数。如果x≤10，她的手就会起水泡，很疼，所以比她不敲钟时的状况还要糟糕。她的收入是100美元，教堂的司事允许她每天敲10个小时的钟。
(a) 由于村民们的抱怨，司事决定限制Moto女士每天只敲5个小时的钟。这对于Moto女士来说是个坏消息。事实上，她觉得这与她的收入减少 美元一样的坏。
(b) 司事退让了一步，他允许Moto女士按自己的意愿选择每天敲多少小时的钟，只要她愿意为这一特权每小时支付2美元。她现在会敲多少小时的钟？ 对她的活动的这一税收相当于她的收入减少多少美元？
(c) 村民们还在抱怨。司事将敲钟的价格提高到每小时4美元。她现在敲多少小时的钟？ 相对于她可以免费敲钟的情况，这一税收的效应相当于她的收入减少了多少美元？
第十五章 市场需求
15.1 在南达科他州的Gap Pump，有两种类型的消费者，别克车车主和道奇车车主。每位别克车车主对汽油的需求函数在p≥4时是DB(p)=20-5p, p＞4时是DB(p)=0。每位道奇车车主对汽油的需求函数在p≤5时是DD(p)=15-3p，p＞5时是DD(p)=0。（需求量是以每周消费的汽油量来衡量的，价格是以美元衡量的。）假设Gap Pump有150个消费者，包括100位别克车车主和50位道奇车主。
(a) 如果价格是3美元，单个别车车主的需求总量是多少？ 单个道奇车车主的呢？
(b) 所有别克车车主的需求总量是多少？ 所有道奇车车主的需求总量是多少？
(c) 在价格为3美元时，Gap Pump所有消费者的需求总量是多少？ (d) 在下图中，用蓝笔画出代表别克车车主总需求的需求曲线。用墨笔画出代表道奇车车主总需求的需求曲线。用红笔画出全城需求的需求曲线。
(e) 市场需求曲线在什么价格水平下有折点？ (f) 当汽油的价格是每加仑1美元时，如果价格增加10美分，每周的需求量下降多少？ (g) 当汽油的价格是每加仑4.50美元时，如果价格增加10美分，每周的需求量下降多少？
(h) 当汽油的价格是每加仑10美元时，如果价格增加10美分，每周的需求量下降多少？
15.2 狗饲养员对电动狗抛光器的需求函数是qb=max{200-p,0}，而养宠物狗的人的需求函数是q0=max{90-4p, 0}。
(a) 在价格为p时，狗饲养员对电动狗抛光器的需求价格弹性是多少？ 养宠物狗的人的需求价格弹性是多少呢？
(b) 价格等于多少时狗饲养员的需求价格弹性是-1？ 价格等于多少时养宠物狗的人的需求价格弹性是-1？
(c) 在下图中，用蓝笔画出狗饲养员的需求曲线，用红笔画出养宠物狗的人的需求曲线，用铅笔画出市场需求曲线。
(d) 找出一个使得总需求量为正的非负的价格，在该价格水平上，需求曲线上的点为折点。 在这一折点以下的价格水平上，市场的需求函数是多少？ 该折点以上的价格水平上的市场需求函数是多少呢？
(e) 市场需求曲线在哪一点上的价格弹性等于-1？ 价格为多少时销售电动狗抛光器的收入最大？ 如果卖者的目标是最大化收入，电动狗抛光器是应该只卖给狗饲养员，还是只卖给养宠物狗的人，或者都卖？
15.3 对小猫干草以磅计的需求是lnD(p)=1000-p+lnm，其中p是小猫干草的价格，m是收入。
(a) 当p=2，m=500时，对小猫干草的需求价格弹性是多少？ 当p=3，m=500时呢？ p=4，m=1500时呢？
(b) 当p=2，m=500时，对小猫干草的需求收入弹性是多少？ 当p=2，m=1000时呢？ p=3，m=1500时呢？
(c) 价格为p，收入为m时需求价格弹性是多少？ 此时需求收入弹性是多少呢？
15.4 对奶酷的需求函数是q(p)=(p+1)-2。
(a) 价格为p时需求的价格弹性是多少？ (b) 价格等于多少时对奶酷的需求价格弹性为-1？ (c) 写出销售奶酪得到的总收入的表达式，该式是价格的函数。 运用微积分求出使得收入最大化的价格。别忘了检验二阶条件。
(d) 假设对奶酪的需求函数形式是更为一般为q(p)=(p+a)-b，其中a>0，b>1。计算价格为p时需求的价格弹性。 价格等于多少时需求的价格弹性为-1？
15.5 在某个大的中西部大学里，对代表性足球赛门票的需求函数是
D(p)=200000-1000p。该大学有一个聪明且贪财的体育指导，他将票价定在能最大化其收入的水平上。该大学的足球场能容纳100000人。
(a) 写出反需求函数。
(b) 作为卖出的门票数的函数，写出总收入的表达式 ，边际收入的表达式 。
(c) 在下图中，用蓝笔画出反需求函数，用红笔画出边际收入函数。在该图中，再用蓝笔画一条代表运动场容量的垂直线。
(d) 价格为多少时收入达到最大？ 该价格水平上能售出多少张门票？ (e) 这一销售量下的边际收入是多少？ 在该销售量下，需求的价格弹性是多少？ 运动场能坐满吗？
(f) 一系列成功的赛季使得足球票的需求曲线向上移动。新的需求函数是q(p)=300000-10000p。新的反需求函数是多少？
(g) 作为销售量的函数，写出边际收入的表达式。MR(q)= 。用红笔画出新的需求函数，用黑笔画出新的边际收入函数。
(h) 如果不考虑运动场的容量，使得收入最大化的价格是多少？ 该价格水平上售出的门票数是多少？
(i) 正如你在上面所看到的，新的更高的需求曲线下最大化总收入的销售量要大于运动
场的容量。尽管体育指导很聪明，但是他也不能卖他没有的座位。他看到直到运动场的容量水平上，他的边际收入都是正的。因为，为了最大化他的收入，他应该以 的价格出售 张门票。
(j) 当他以这一份格出售门票时，他每额外卖出一张门票得到的边际收入是 。在这一份格销售量组合下，对门票需求的弹性是 。
第十六章 均衡
16.1 对滑雪课的需求曲线由式D(pD)=100-2pD给出，供给曲线由式S(Ps)=3ps给出。 (a) 均衡价格是多少？ 均衡量呢？ (b) 对消费者要征收每节课10美元的税收。写出能将需求方支付的价格与供给方接受的价格联系起来的方程。 写出表示供给等于需求的方程。
(c) 解这两个关于两个未知变量ps、pd的方程。在10美元的税收下，消费者支付的均衡价格pd将是 。供给的总的课程数将是 。
(d) 一个来自多山的州的参议员建议说，尽管滑雪课的消费者十分富裕，应该被征税，但是滑雪教练十分贫穷，应该得到补贴。他提议在保持对滑雪课程征收10美元税收的同时对教授滑雪课的一方给予6美元的补贴。这一政策与每节课征收4美元税收的政策对供给方或需求方来说有什么不同吗？
16.2 咸鳕鱼的需求曲线是D(P)=200-5P，供给曲线是S(P)=5P。
(a) 在下图中，用蓝笔画出需求曲线和供给曲线。均衡的市场价格是 ，均逢的销售量是 。
(b) 每销售一单位的咸鳕鱼要征收2美元的数量税。用红笔画出新的供给曲线，其中纵轴上的价格仍然是消费者支付的每单位的价格。消费者支付的新的均衡价格是 ，供给者接受的新价格是 。均衡的销售量是 。
(c) 这一税收产生的额外净损失是 。在图中将代表这一额外净损失的区域涂成阴影。
16.3 毫无疑问，Schrecklich和LaMerde是两位并不出名的19世纪印象派画家。Schrecklich作品的世界总收藏量是100幅，而LaMerde作品的世界总收藏量是150幅。鉴赏家们认为这两位画家的风格十分相似。因此对其中某位画家作品的需求不仅依赖于它自身的价格也依赖于另一位画家作品的价格。对Schrecklich作品的需求函数是
Ds(P)=200-4Ps-2PL，对LaMerde作品的需求函数是DL(P)=200-3PL-PS，其中PS和PL分别是Schrecklich和LaMerde作品的美元价格。
(a) 写出两个表示均衡状态的联立方程。均衡状态下，每位画家作品的需求都等于供给。 (b) 解这两个方程，可以得到Schrecklich的画的均衡价格是 ，LaMerde的画的均衡价格是 。
(c) 在下图中，画出一条直线，该直线表示的是使得Schrecklich作品的需求等于供给的所有PL和PS的组合。再画出另一条直线，该直线表示的是使得LaMerde作品的需求等于供给的所有PL和PS的组合。用字母E标出使得两个市场都出清的唯一的价格组合。
(d) 密歇根州Hamtramck的某个保龄球场发生了一场大火。这场火烧毁了Schrecklich作品的收藏地，该地是世界上最大的Schrecklich作品收藏地之一。这场火绕毁了10幅Schrecklich作品。大火之后，Schrecklich作品的均衡价格是 ，LaMerde作品的均衡价格是 。
(e) 在你所画的图中，用红笔画一条直线，该直线表示的是使得Schrecklich作品的需求等于其新供给的所有价格组合的轨迹。在图中，用E′标出新的均衡价格组合。
16.4 麦片需求的价格弹性是常数且等于-1。如果每单位麦片的价格是10美元，则其总需求量是6000单位。
(a) 写出需求函数。 用蓝笔在下图中画出这个需求函数。（提示：如果需求曲线的价格弹性等于常数ε，则D(p)=apε，其中a是某个常数。你必须利用该问题所给出的数据以及这一特例中的ε来求解常数a。）
(b) 如果供给在5000单位时完全无弹性，均衡价格是多少？ 在图中表示出这一供给曲线，并用E标出该均衡。
(c) 假设需求曲线向外移动了10%。写出新的需求函数。 假设供给曲线仍然是垂直的，但是向右移动了5%。此时解出的新的均衡价格是 ，均衡量是 。
(d) 均衡价格大约增长了百分之多少？ 用红笔在上图中画出新的需求曲线和新的供给曲线。
(e) 假设在上面的问题上，需求曲线向外移动了x%，供给曲线向右移动了y%。均衡价格将大约增长百分之多少？
16.5 香蕉的反需求函数是Pd=18-3Qd，反供给函数是Ps=6+Qs，其中价格是以美分计算的。
(a) 假设没有税收和补贴，均衡量是多少？ 市场的均衡价格是多少？ (b) 假设对香蕉的生产者支付每磅2美分的补贴，那么均衡时香蕉的需求量仍然等于其供给量，但是现在卖方接受的价格要比消费者支付的价格高2美分。新的均衡量是多少？ 消费者支付的新的均衡价格是多少？ (c) 将价格的这一变化表达为原来价格的百分数。 如果苹果和香蕉需求之间的交叉弹性是+0.5，那么在苹果的价格保持不变的情况下，对香蕉生产者的补贴会对苹果的需求量产生什么影响？（用变化的百分数来表示答案。）
16.6 Kanuta国王统治着一个热带的小岛Nutting Atoll，该岛的主要作物是椰子。如果椰子的价格是P，则Kanuta国王的臣民每周将需要D(P)=1200-100P单位的椰子用于自身消费。该岛的椰子种植者每周供应的椰子的量为S(P)=100P。
(a) 椰子的均衡价格是 ，均衡的供给量是 。
(b) 一天，Kanuta国王决定对其臣民征税，以便为王室储备椰子。国王要求，每个臣民
每消费1单位椰子的同时必须给予国王1单位的椰子作为税收。这样，如果某个臣民自己需要5单位的椰子，他就必须购买10单位的椰子并将其中的5单位给予国王。如果卖方接受的价格是Ps，那么某个臣民为获得额外一单位的椰子供自己消费要花费多少？
(c) 如果支付给供给方的价格是Ps，国王的臣民用于自身消费的椰子的需求量是多少？（提示：用Ps来表示Pd，并将其代入需求函数。）
(d) 因为其臣民每消费一单位的椰子国王就消费一单位的椰子，因此国王与其臣民的需求总量是其臣民需求量的两倍。这样，当供给方接受的价格是Ps时，国王及其臣民每周需求的椰子的总量是 。
(e) 解出Ps的均衡值 ，椰子均衡的生产总量 ，国王的臣民消费的椰子的均衡的总量 。
(f) Kanuta国王的臣民对给予国王额外1单位的椰子十分不满，革命的消息传遍了整个王宫。因为担心这种敌对的气氛，国王改变了椰子税的政策。现在，卖椰子的店主必须支付这一税收。每销售1单位的椰子给消费者，店主必须给予国王1单位的椰子。支付这一税收给国王之后，店主从每单位椰子的销售中得到 ，而消费者为每单位椰子支付的价格是 。
第十七章 拍卖
17.1 密歇根Ishpemming的Toivo拍卖行里正在拍卖一件漂亮的驼鹿头标本。有五个人参与竞价：Aino，Erkki，Hannu，Juha以及Matti。这个驼鹿头对Aino来说值100美元，对Erkki值20美元，对其他人值5美元。竞标者之间没有合谋，并且他们彼此不知道对方的评价。
(a) 如果拍卖人进行英氏拍卖，谁将得到驼鹿头？该买方大约要支付多少美元？ (b) 如果拍卖人进行的是维克里拍卖，并且没有人知道其他人对驼鹿头的评价，为最大化其期望收益，Aino应该叫价多少？ Erkkin应该叫价多少？ 其他的人应该叫价多少？ 谁将得到这一驼鹿头？他将支付多少钱？
17.2 我们再来看看我们那位经济上受折磨的朋友Charlie Plopp。这一次，我们将考虑同样的问题的稍为一般化点的形式。除了休闲使用者的支付意愿为C<6000美元以外，其他所有的条件都和前面的一样，并且Charlie知道休闲使用者的支付意愿是C<6000美元。我们前面处理的问题是C=4500的特例。现在我们想要找到能给Charlie带来最高的期望收益的出售方式，其中最高的期望收益依赖于C的量。
(a) 如果他贴出的价格等于专业的推土机操作员的保留价格，则他的期望收益是多少？ (b) 如果Charlie贴出的价格等于休闲使用者的保留价格C，则他的期望收益是多少？ (c) 如果Charlie通过方式3即维克里拍卖来出售他的推土机，他的期望收益是多少？（答案是C的函数。）
(d) 证明如果C<6000美元，则通过方式3出售比通过方式2出售带给Charlie的期望收益高。
(e) C值为多大时，方式2使得Charlie的状态比方式1时的更好？ (f) C值为多大时，方式1使得Charlie的状态比方式3时的更好？
17.3 一天，在一个古代地毯的拍卖会快要结束的时候，只剩下两个竞标者April和Bart了。最后一张地毯拿出来了，两个竞标者都看了一下这张地毯。卖方说，她将采用密封竞价，并将地毯以最高的出价卖给出价最高的一方。
每个竞标者都认为另一方对该地毯的估价为0和1000美元之间的任意一个值，并且取每一个值的概率都相等。因此对于0和1000之间的任意值X，每个竞标者都认为另一方对地毯的估价低于X的概率为X/1000。该地毯对April的真实价值是800美元。如果她得到这张地毯，则她的利润是800美元和她支付的价格之间的差额。如果她没有得到地毯，她的利润就是零。她希望以能够最大化自己的期望利润的方式出价。
(a) 假设April认为Bart将以自己的真实估作为报价。如果她出价700美元，那么她得到这张地毯的概率是多大？ 如果她以700美元的价格得到了这张地毯，她的利润是多少？ 如果她出价700美元，她的期望利润是多少？
(b) 假设Bart以自己的真实估价作为报价。如果April出价600美元，则她得到这张地毯的概率是多大？ 如果她以600美元的价格得到了这张地毯，她的利润是多少？ 如果她出价600美元，她的期望利润是多少？
(c) 再次假设Bart以自己的真实估价作为报价。如果April的出价为x美元(x为0和1000之间的某个值)，那么她得到这张地毯的概率是多大？ 如果她得到了这张地毯，她的利润是多少？ 如果她出价x美元，写出她的期望利润的表达式。 找出能够最大化她的期望利润的报价x。（提示：求导。）
(d) 现在我们再进一步地求出更一般的解。假设地毯对April的价值是V美元，并且她相信Bart将以自己的真实估价作为报价。如果她的报价为x美元，写出以变量V和x表示的她的期望利润的表达式。 现在计算出能够最大化她的期望利润的报价x。（同样的提示：求导。）
17.4 每天Repo金融公司都会举行一次维克里拍卖，拍卖的商品是二手的汽车。只有三个竞标者对这些汽车进行出价，Arnie、Barney和Carny。这三个竞标者都是二手车交易商，他们每天的支付意愿随自己车行里需求的变化而随机地波动。在特定的某一天，某辆旧车对任何一个交易商的价值是一个随机变量，以1/2的概率取较高的值H美元，以1/2的概率取较低的值L美元。在特定的某一天，每个交易商对某辆汽车的估价与其他交易商对它的估价之间是独立的。
交易商每天都对被拍卖的二手车给出自己的书面报价。Repo金融公司将把车以第二高的报价卖给出价最高的一方。如果各方的出价都一样高，则第二高的报价等于最高的报价，而汽车也将以这一所有方的报价卖给随机挑选的一位出价者。
(a) 如果某一天某个交易商对一辆二手车的估价是H美元，那么他应该为这辆车出价多少？ 如果某一天某个交易商对一辆二手车的估价是L美元，那么他应该为这辆车出价多少？
(b) 如果交易商之间没有合谋，那么当两个或三个交易商对一辆二手车的估价是H美元时，Repo公司从该车中得到的支付是多少？ 当对某辆车的估价为H美元的交易商少于两人时，Repo公司得到的支付是多少？
(c) 在特定的某一天，Repo公司从当天的那辆二手车那里得到的支付为H美元的概率是多少？ 得到L美元的概率是多少？ Repo公司从拍卖中得到的期望收益是多少？
(d) 如果不存在合谋，并且每个交易商都以自己的真实估价作为报价，那么在特定的某一天，Arnie以低于自己的估价的价格得到二手车的概率是多大？（提示：这种情况只有在Arnie认为二手车值H美元，而其他人认为值L美元时才会发生。） 假设我们用车对某个交易商的价值与他支付的价值之间的差额来衡量他的利润。在任意选择的某一天，Arnie的期望利润是多少？ (e)市场中所有参与者的总期望利润是这三个汽车交易商的期望利润与Repo公司的期望收益的总和。二手车是以维克里拍卖的形式出售的，并且交易商之间没有合谋。市场中所有参与者期望利润的总和是多少？
17.5 Arnie、Barney和Carny愉快地实施了几周“总是出低价”的策略，直到有一天Arnie又想出了一个新主意。Arnie对其他人提议说：“如果我们都出价L美元，那么有时候可能会发生如下情况，即本周得到二手车的人的估价仅为L美元，而其他人的估价可能是H美元。我想出了一个可以提高我们每个人利润的方案。”以下是Arnie的方案。在每天Repo公司进行拍卖之间，Arnie、Barney和Carny三人之间将进行一次维克里预拍卖，以决定当天的拍卖中出高价的权利归谁。赢得这场预拍卖的一方可以出自己喜欢的任意价格，而其他的两方则必须出价L美元。这样的一种预拍卖被称为是“预决拍卖”（knockout）。从“预决拍
卖”中得到的收益将在Arnie、Barney和Carny之间进行平均分配。在本题中，假设在预决拍卖中，各方都以自己对赢得预决拍卖的真实评价作为报价。
(a) 如果预决拍卖中的胜出方认为当天的二手车的价值为H美元，那么他知道他可以在Repo公司的维克里拍卖中出价H美元，并以L美元的价格得到这辆车。因此认为二手车的价值为H美元的买方赢得预决拍卖的价值一定是 。认为二手车的价值为L美元的买方赢得预决拍卖的价值是 。
(b) 一天，当一个交易商认为二手车的价值是H美元，另外两个交易商的估价为L美元时，在预决拍卖中，估价为H的交易商将会出价 ，而其他两个交易商将会出价 。此时在预决拍卖中，为获得在Repo公司的拍卖中出唯一的高价的权利，交易商必须支付 。这种情况下，该天的二手车将会被估价为H美元的唯一的一个交易商所得到，他支付给Repo公司的价格是 。在这一天，有较高估价的交易商赚取的利润是 。
(c) 我们继续假设在预决拍卖中，交易商的出价是他们对赢得预决拍卖的直实评价。当两个或更多的买者对二手车的评价为H美元时，为获得在Repo公司的拍卖中出唯一的高价的权利，预决拍卖中的胜出方必须支付 。
(d) 如果采用Arnie的方案，这三个汽车交易商中的每一个人的期望总利润是多少？（记得要加上每个人从预决拍卖中分得的收益。）
17.6 几周的时间过去了，这期间Repo公司从未得到过多于一个的高报价。Repo公司的人猜测一定是出了什么问题。董事会的一些成员建议雇用职业杀手来惩罚Arnie、Barney和Carny，但是冷静的一方占了上风，他们决定雇用一个学过中级微观经济学的经济学家。这位经济学家提议说：“你们为什么不设置一个保留价格R，并使R只比H低一点点呢（但是当然要比L高出许多）？如果你们至少得到了竞价R美元，就以R美元的价格把它卖给某个竞标者。如果没有得到与R一样高的竞价，那么就把那一天的汽车扔到河里去。（可悲的是，Repo公司所在地的环境保护当局并不警觉。）”Repo公司的一位职员说：“可是这么多浪费呀。”而这位经济学家回答说：“只要做做算术就知道了。”
(a) 经济学家继续说：“只要Repo公司坚持自己的主张，并且拒绝以低于R的价格出售汽车，那么即使Arnie、Barney和Carny之间存在合谋，他们最多能做的也就是在他们的估价为H美元时每人出价R美元，在估价为L美元时不出价。”如果他们采取这一策略，那么Repo公司能以R的价格出售某辆特定的汽车的概率是 ，因此Repo公司的期望利润将是 。
(b) 如果比值H/L大于 ，则设置一个略低于H美元的保留价格，并在没有任何报价时毁掉汽车所得到的利润要比不设置保留价格时高。如果H/L小于 ，则前者的利润低于后者。
第十八章 技术
18.1 假设x1和x2的投入比例固定，且f(x1,x2)=min{x1,x2}。
(a) 假设x1 (b) 假设f(x1, x2)=min{x1, x2}，且x1=x2=20。x1发生微小变化时的边际产量是多少？ x2发生微小变化时的边际产量是多少？ 如果x2的量增加了一点点，则x1的边际产量会（增加，减少，保持不变） 。 1/23/218.2 假设生产函数是柯布一道格拉斯型的，并且f(x1, x2)=x1x2。 (a) 写出在点(x1, x2)处x1的边际产量的表达式。 (b) x2保持不变时，x1的微小增加使得x1的边际产量（增加，减少，保持不变） (c) 要素2的边际产量是 ，x2的微小增加使其边际产量（增加，保持不变，减少） 。 (d) x2的量增加导致x1的边际产量（增加，保持不变，减少） 。 (e) x2和x1之间的技术替代率是 。 (f) 该技术呈现递减的技术替代率吗？ (g) 该技术呈现规模收益（递增，不变，递减） 。 18.3 General Monsters公司有两个生产神像的工厂，一个在Flint，一个在Inkster。Flint厂的生产函数是fF(x1, x2)=min{x1, 2x2}，Inkster厂的生产函数是f1 (x1, x2)=min{2x1, x2}，其中x1和x2是投入。 (a) 在下图中，用蓝笔画出Flint厂生产40单位神像时的等产量线。用红笔画出Inkster厂生产40单位神像时的等产量线。 (b) 假设该公司希望在每个厂生产20单位神像。在Flint厂生产20单位神像需要多少单位的每种投入？ 在Inkster厂生产20单位神像需要多少单位的每种投入？ 在图中，将表明该公司生产40单位的神像，20单位在Flint厂，20单位在Inkster厂，所需的每种投入的总投入量的组合的点用字母a表示出来。 (c) 在图中，将表明该公司在Flint厂生产10单位神像，在Inkster厂生产30单位时所需的每种投入的总投入量的组合的点用字母b表示出来。将该公司在Flint厂生产30单位神像，在Inkster厂生产10单位时所需的每种投入的总投入量的组合点用字母c表示出来。如果该公司能以任意的比例在两个工厂之间分割产量，用黑笔画出该公司的产出为40单位时的等产量线。该公司可用的技术是凸的吗？ 18.4 某企业的生产函数是f(x, y)=min{2x, x+y}。在下图中，用红笔画出该企业的几条等产量线。另一个企业的生产函数是f(x, y)=x+min{x, x+y}。这两个企业中的某一个或者两个的规模收益都是不变的吗？ 在同一个图中，用黑笔画出第二个企业的几条等产量线。 abc18.5 假设生产函数的形式是f(x1,x2,x3)?Ax1x2x3，其中a+b+c>1。证明规模收益 递增。 18.6 假设某企业的生产函数是f(x1,x2)?2。 x1?x2(a) 当要素1的量增加时，要素1的边际产量（增加，减少，保持不变） 。当要素2的量增加时，要素2的边际产量（增加，减少，保持不变） 。 (b) 这一生产函数既不满足规模收益递增的定义，也不满足规模收益递减或者规模收益不变的定义。怎么会这样呢？ 找出一个投入组合量，使得在该投入组合下，每种投入量增加1倍时，产出的增加大于1倍。再找出一个投入组合量，使得在该投入组合下，每种投入量增加1倍时，产出的增加小于1倍。 第十九章 利润最大化 19.1 洛杉矶的某个企业使用单一的投入生某种娱乐产品，其生产函数是f(x)?4x，其中x是其投入的单位数。其产品的售价是每单位100美元。每单位投入的成本是50美元。 (a) 写出作为投入量的函数的企业利润的表达式。 (b) 使得利润最大化的投入量是多少？ 利润最大化的产量是多少？ 如果企业最大化其利润，则其利润是多少？ (c) 假设企业的每单位产品要征收20美元的税收，而每单位投入有10美元的补贴。新的投入量是多少？ 新的产出量是多少？ 该企业现在的利润是多少？ （提示：解该问题的一个好办法是写出作为其投入量的函数的该企业利润的表达式，然后再求出使得利润最大化的投入量。） (d) 假设没有以上的税收和补贴，但企业的利润要征收50%的税收。写出其税后利润的表达式，其中税后利润是投入量的函数。 利润最大化的产量是多少？ 其税后利润是多少？ 19.2 假设某个竞争性市场上的企业试图最大化利润，并且只使用一种生产要素。这样我们就知道，对于投入价格和产出价格的任意变化，投入的选择和产出的选择一定是服从利润最大化弱公理的，即△p△y-△ω△x≥0。 下列哪些命题可被利润最大化弱公理（WAPM）所证实？回答是或不是，并给出简要的说明。 (a) 如果投入的价格不变，则产出价格的下降意味着企业将生产相同的或更少的产量。 (b) 如果产出的价格保持不变，则投入价格的下降意味着企业将使用相同或更多的投入量。 (c) 如果产出和投入的价格都增加，并且企业的产量减少，则企业将使用更多的投入量。 19.3 农场主Hoglund发现，如果他不在自己的农场上使用化肥，他每英亩可以收获30蒲式耳的玉米。如果他在每英亩土地上使用N磅化肥，则化肥的边际产量是每磅化肥1-N/200蒲式耳玉米。 (a) 如果玉米的价格是每蒲式耳3美元，化肥的价格是每磅p美元（P<3），为最大化利润，他每英亩应该使用多少磅化肥？ (b)（只适合于知道点简单的积分的读者。）写出以每英亩的化肥使用量为自变量的Hoglund每英亩产出的函数。 (c) Hoglund的邻居Skoglund的土地比Hoglund的要好。实际上，他使用化肥时每英亩 得到的玉米是Hoglund使用相同量的化肥时得到的玉米的两倍。如果玉米的价格是每蒲式耳3美元，化肥的价格是每磅p美元，则Skoglund每英亩将会使用多少化肥？ （提示：先写出Skoglund使用化肥时的边际产量，这一边际产量是N的函数。） (d) 如果Hoglund和Skoglund都是利润最大化者，那么Skoglund的产量是大于、小于还是等于Hoglund产量的两倍？给出解释。 (e) 某人知道Hoglund和Skoglund的玉米产量以及他们所投入的化肥量，但是不知道他们土地质量的差别，那么他可能会对化肥的生产力产生错误的看法。解释一下原因。 1/21/419.4 某个企业有两种可变的要素，其生产函数为f(x1,x2)?x1x2。其产品的价格 为4，要素1的工资为ω1，要素2的工资为ω2。 (a) 写出表示要素1的边际产品价值等于其工资的方程 。解关于两个未知变量x1和x2的这两个方程，求出使得企业的利润最大化的要素1和要素2的量，这种要素量是ω1和ω2的函数。这样可以得到x1= ，x2= 。（提示：通过第一个方程可以求出作为x2和要素工资的函数的x1的表达式。然后将这一表达式代入到第二个方程中，解出x2，这里x2是两种工资比率的函数。最后再通过x2求出x1。） (b) 如果要素1的工资是2，要素2的工资是1，企业将需求多少单位的要素1？ 多少单位的要素2？ 它将生产多少产量？ 得到的利润是多少？ 19.5 某个企业有两种可变的要素，其生产函数为f(x1,x2)?画出产量为3和产量为4时的等产量线。 (a) 如果产品的价格是4，要素1的价格是2，要素2的价格是3，求出利润最大化时要素1的使用量 ，利润最大化时要素2的使用量 ，以及利润最大化的产量 。 2x1?4x2。在下图中， 第二十章 成本最小化 20.1 Nadine销售界面友好的软件。她的公司的生产函数是f(x1,x2)?x1?2x2，其中x1是她雇用的不熟练劳动力的量，x2是她雇用的熟练劳动力的量。 (a) 在下图中画一条等产量线，这条等产量线表示的是能够生产20单位的产出的投入组合轨迹。再画一条产量为40单位时的等产量线。 (b) 这一生产函数呈现递增、递减还是不变的规模收益？ (c) 如果Nadine只使用不熟练的劳动力，那么要生产y单位的产出，她需要多少不熟练的劳动力？ (d) 如果Nadine只使用熟练的劳动力，那么要生产y单位的产出，她需要多少熟练的劳动力？ (e) 如果Nadine面临的要素价格是（1, 1），那么她生产20单位产出的成本最小的方式是怎样的？x1= ，x2= 。 (f) 如果Nadine面临的要素价格是（1, 3），那么她生产20单位产出的成本最小的方式是怎样的？x1= ，x2= 。 (g) 如果Nadine面临的要素价格是（ω1, ω2），那么她生产20单位产出的最小成本是多少？ (h) 如果Nadine面临的要素价格是（ω1，ω2），那么她生产y单位产出的最小成本是多少？ 20.2 安大略湖黄铜制品厂生产黄铜制品。你知道，黄铜是铜和锌以一定混合比例形成的合金。生产函数是f(x1, x2)=min{x1, 2x2}，其中x1是生产中铜的使用量，x2是锌的使用量。 (a) 在下图中，画出这一生产函数的一条有代表性的等产量线。 (b) 这一生产函数呈现递增、递减还是不变的规模收益？ (c) 如果企业要生产10单位的产品，需要多少单位的铜？ 多少单位的锌？ (d) 如果企业面临的要素价格是（1, 1），那么它生产10单位产品的成本最小的方式是怎样的？ 这一方式的成本是多少？ (e) 如果企业面临的要素价格是（ω1, ω2），那么它生产y单位产品的最小成本是多少？ 20.3 某个企业使用劳动和机器进行生产，生产函数是f(L, M)=4L1/2M1/2，其中L是所使用的劳动的单位数，M是机器数。每单位劳动的成本是40美元，使用一台机器的成本是10美元。 (a) 在下图中，画出企业的一条等成本线，这条等成本线表示的是总成本为400美元时劳动和机器的组合。再画出一条总成本为200美元的等成本线。这两条等成本线的斜率是多少？ (b) 假设企业想以成本最低的方式生产产品。求出它使用一单位劳动时将会使用的机器数。（提示：企业将在使得等产量线的斜率等于等成本线的斜率的点上生产。） (c) 在图中画出产量为40时的等产量线。给定要素价格如上，求出企业以成本最小的方式生产40单位的产品时所使用的劳动量 和机器量 。计算在以上要素价格下生产40单位产品的成本：c(40, 10, 40)= 。 (d) 企业以成本最小的方式生产y单位的产品时将会使用多少单位的劳动 ，多少单位的机器 ？此时生产的成本是多少？ （提示：注意，这里存在规模收益不变。） 20.4 Earl在费城一个热闹的街角处卖柠檬水，该市场是竞争性的。他的生产函数是 1/31/3f(x1,x2)?x1x2，其中产出是以加仑为单位计算的，x1是他所使用的柠檬的磅数，x2 是压榨柠檬所花费的劳动小时数。 (a) Earl的生产是规模收益不变，规模收益递减还是规模收益递增？ (b) 如果ω1是每磅柠檬的成本，ω2是柠檬压榨工的工资率，那么Earl生产柠檬水的成本最小的方式是压榨每磅柠檬使用 小时的劳动。（提示：令他等产量线的斜率等于等成本线的斜率。） (c) 如果他要以成本最小的方式生产y单位，那么他将会使用的柠檬的磅数是x1(ω1, ω 2, y)= ，劳动的小时数是x2(ω1, ω2, y)= 。（提示：运用生 产函数以及你在上一部分所求得的等式来求解投入量。） (d) Earl在要素价格为ω1、ω2时生产y单位的成本是c(ω1, ω2, y)= ω1x1(ω1, ω2, y)+ ω2x2(ω1, ω2, y)= 。 20.5 投入(x1, x2, x3, x4)的价格是(4, 1, 3, 2)。 (a) 如果生产函数由f(x1, x2)=min{x1, x2}给出，那么产出为一单位时的最小成本是多少？ (b) 如果生产函数由f(x1, x2)=min{x1, x2}给出，那么产出为一单位时的最小成本是多 少？ (c) 如果生产函数由f(x1, x2, x3, x4)=min{x1+x2, x3+x4}给出，那么产出为一单位时的最小成本是多少？ (d) 如果生产函数由f(x1, x2)=min{x1, x2}+min{x3, x4}给出，那么产出为一单位时的最小成本是多少？ 20.6 Joe Grow对室内园艺十分感兴趣。他发现健康生长的植物的数量h，依赖于光线量l以及水分量ω。实际上，Joe注意到植物所需的光线量是水分量的两倍，而更多或者更少的光线都会造成浪费。这样，Joe的生产函数是h=min{l, 2ω}。 (a) 假设Joe采用的光线量是1单位，那么使得植物健康生长的水分量最少是多少？ (b) 如果Joe想生产4单位健康的植物，那么所需的光线和水分的量最少是多少？ (c) Joe对光线这一要素的条件需求函数是l(ω1, ω2, h)= ，对水分这一要素的条件需求函数是ω(ω1, ω2, h)= 。 (d) 如果每单位光线的成本是ω1，每单位水分的成本是ω2，则Joe的成本函数是c(ω 1, ω2, h)= 。 20.7 Irma手工艺品厂生产塑胶鹿作为草坪上的装饰物。Irma说：“这个工作很辛苦。不 过赚钱的活都很辛苦。”她的生产函数是f(x1, x2)=(min{x1, 2x2})1/2，其中x1是使用的塑胶的量，x2是使用的劳动量，f(x1, x2)是生产出来的鹿的数量。 (a) 在图中画一条等产量线，这条等产量线代表的是能够生产4单位鹿的投入组合。再画出另一条等产量线，该线表示的是能够生产5单位鹿的投入组合。 (b) 这一生产函数呈现递增、递减还是不变的规模收益？ (c) 如果Irma面临的要素价格是（1, 1），那么她生产4单位鹿的成本最小的方式是怎样的？ 这一生产方式的成本是多少？ (d) 如果Irma面临的要素价格是（1, 1），那么她生产5单位鹿的成本最小的方式是怎样的？ 这一生产方式的成本是多少？ (e) 当要素价格是（1, 1）时，这一生产技术下生产y单位鹿的成本是c(1, 1, y)= 。 (f) 当要素价格是（ω1, ω2）时，这一生产技术下生产y单位鹿的成本是c(ω1, ω2, y)= 。 20.8 A1 Deardwarf也生产塑胶鹿作为草坪装饰物。A1发现了一种完全自动化的生产方式。他完全不使用劳动，只使用木材和塑胶。A1说他喜欢这种生产因为“他需要鹿”。A1的生产函数是f(x1, x2)=(2x1+x2)1/2，其中x1是使用的塑胶的量，x2是使用的木材的量，f(x1, x2)是生产的鹿的数量。 (a) 在下图中画一条等产量线，这条等产量线代表的是能够生产4单位鹿的投入组合。再画出另一条等产量线，该线表示的是能够生产6单位鹿的投入组合。 (b) 这一生产函数呈现递增、递减还是不变的规模收益？ (c) 如果A1面临的要素价格（1, 1），那么他生产4单位鹿的成本最小的方式是怎样的？ 这一生产方式的成本是多少？ (e) 当要素价格是（1, 1）时，这一生产技术下生产y单位鹿的成本是c(1, 1, y)= (f) 当要素价格是（3, 1）时，这一生产技术下生产y单位鹿的成本是c(3, 1, y)=