绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）

理科数学

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.

3?i?（ ） 1?iA．1?2i B．1?2i C．2?i D．2?i

2. 设集合A??1,2,4?，B?xx?4x?m?0．若A2??B?{1}，则B?（ ）

A．?1,?3? B．?1,0? C．?1,3? D．?1,5?

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，

请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱

截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）

A． 90? B．63? C．42? D．36?

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?2x?3y?3?0?5. 设x，y满足约束条件?2x?3y?3?0，则z?2x?y的最小值是（ ）

?y?3?0?A．?15 B．?9 C．1 D．9

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良

好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）

A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8. 执行右面的程序框图，如果输入的a??1，则输出的S?（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

x2y29. 若双曲线C:2?2?1（a?0，b?0）的一条渐近线被圆

ab?x?2?2?y2?4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）

A．2 B．3 C．2 D．23 310. 已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，???C?120，???2，?C?CC1?1，则异面直线??1与?C1第 2 页 共 21 页

所成角的余弦值为（ ） A．

331510 B． C． D． 235511. 若x??2是函数f(x)?(x2?ax?1)ex?1`的极值点，则f(x)的极小值为（ ）

A.?1 B.?2e?3 C.5e?3 D.1

12. 已知?ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA?(PB?PC)的最小值是（ ）

A.?2 B.?34 C. ? D.?1 23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，?表示抽到的

二等品件数，则D?? ．

214. 函数f?x??sinx?3cosx?3???（x??0,?）的最大值是 ． 4?2?15. 等差数列?an?的前项和为Sn，a3?3，S4?10，则

1? ． ?Sk?1kn16. 已知F是抛物线C：y2?8x的焦点，?是C上一点，F?的延长线交y轴于点?．若?为F?的

中点，则FN? ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）

?ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知sin(A?C)?8sin2（1）求cosB；

（2）若a?c?6，?ABC的面积为2，求b． 18.（12分）

B， 2海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：

第 3 页 共 21 页

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱

产量不低于50kg”,估计A的概率；

（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

旧养殖法 新养殖法

（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（错误！未找

到引用源。）

0.050 0.010 6.635 0.001 10.828 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg k 3.841 n(ad?bc)2 K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2

19.（12分）

如图，四棱锥P?ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

AB?BC?1AD,?BAD??ABC?90o, E是PD的中点. 2（1）证明：直线CE// 平面PAB

o（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45 ，求二面角M?AB?D的余弦值

第 4 页 共 21 页

20. （12分）

x2?y2?1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2足NP?2NM.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x??3上，且OP?PQ?1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 21.（12分）

已知函数f?x??ax?ax?xlnx，且f?x??0。

2（1）求a；

（2）证明：f?x?存在唯一的极大值点x0，且e?2?f?x0??2?2.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?cos??4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的直

角坐标方程； （2）设点A的极坐标为(2,?3)，点B在曲线C2上，求?OAB面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知a?0,b?0,a?b?2，证明： （1）(a?b)(a?b)?4； （2）a?b?2．

第 5 页 共 21 页

55332017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2

理科数学参考答案

一、选择题：

1. D 7. D

2. C 8. B

3. B 9. A

4. B

5. A

6. D

10. C 11. A 12. B

二、填空题：

13. 1.96 三、解答题： 17.（12分）解：

2（1）由题设及A?B?C??得sinB?8sin 14. 1 15.

2n n?116. 6

B，故 2sinB?（41?cosB）

上式两边平方，整理得 17cos2B?32cosB?15?0 解得 cosB=1（舍去），cosB=（2）由cosB=15 1715814得sinB?，故S?ABC?acsinB?ac 171721717又S?ABC=2，则ac?

2由余弦定理及a?c?6得

b2?a2?c2?2accosB?(a?c)2?2ac(1?cosB)

?36?2?所以b?2 18.（12分） 解：

（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”， C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”.

由题意知P(A)?P(BC)?P(B)P(C) 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

1715?(1?)?4 217(0.012?0.014?0.024?0.034?0.040)?5?0.62，

故P(B)的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

(0.068?0.046?0.010?0.008)?5?0.66，

第 6 页 共 21 页

故P(C)的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.62?0.66?0.4092 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

旧养殖法 新养殖法 箱产量?50kg 箱产量?50kg 62 34 38 66 200?(62?66?34?38)2K??15.705

100?100?96?1042由于15.705?6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

(0.004?0.020?0.044)?5?0.34?0.5，

箱产量低于55kg的直方图面积为

(0.004?0.020?0.044?0.068)?5?0.68?0.5，

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

50?19.（12分） 解：

0.5?0.34?52.35(kg)

0.068（1）取PA的中点F，连接EF,BF，

因为E是PD的中点， 所以EF//AD，EF?1AD 2由?BAD??ABC?90 得BC//AD， 又BC?1AD， 2所以EF//BC，

四边形BCEF是平行四边形，CE//BF， 又BF?平面PAB，CE?平面PAB， 故CE//平面PAB

（2）由已知得BA?AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示

第 7 页 共 21 页

的空间直角坐标系A?xyz，则

A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3)， PC?(1,0,?3),AB?(1,0,0)

设M(x,y,z)(0?x?1)，则

BM?(x?1,y,z),PM?(x,y?1,z?3)

因为BM与底面ABCD所成的角为45，而

n?(0,0,1)是底面ABCD的法向量，

所以|cos?BM,n?|?sin45,|z|(x?1)2?y2?z2

?2， 2①

即(x?1)2?y2?z2?0

又M在棱PC上，设PM??PC，则

x??,y?1,z?3?3?

②

??22x?1?,x?1?,??22????由①，②解得?y?1,（舍去），?y?1,

??6?z???z?6??22??所以M(1?2626,1,)，从而AM(1?,1,) 2222设m?(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量，则

???(2?2)x0?2y0?6z0)?0,?mAM?0, 即? ?x?0,???0?mAB?0,所以可取m?(0,?6,2)， 于是cos?m,n??mn10 ?|m||n|510 5第 8 页 共 21 页

因此二面角M?AB?D的余弦值为20. （12分）

解：

（1）设P(x,y)，M(x0,y0)，

则N(x0,0),NP?(x?x0,y),NM?(0,y0) 由NP?2NM得

x0?x,y0?2y 2x2y2因为M(x0,y0)在C上，所以??1

22因此点P的轨迹方程为x2?y2?2 （2）由题意知F(?1,0)

设Q(?3,t),P(m,n)，则

OQ?(?3,t),PF?(?1?m,?n),OQPF?3?3m?tn， OP?(m,n),PQ?(?3?m,t?n)

由OQPQ?1得?3m?m?tn?n?1 又由（1）知m?n?2，故

22223?3m?tn?0

所以OQPF?0，即OQ?PF. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，

所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 21.（12分） 解：

（1）f(x)的定义域为(0,??)

设g(x)?ax?a?lnx，则f(x)?xg(x),f(x)?0等价于g(x)?0 因为g(1)?0,g(x)?0， 故g?(1)?0， 而g?(x)?a?1,g?(1)?a?1， x第 9 页 共 21 页

得a?1

若a?1，则g?(x)?1?1 x当0?x?1时，g?(x)?0,g(x)单调递减； 当x?1时，g?(x)?0,g(x)单调递增

所以x?1是g(x)的极小值点，故g(x)?g(1)?0 综上，a?1

（2）由（1）知f(x)?x2?x?xlnx,f?(x)?2x?2?lnx

设h(x)?2x?2?lnx，则h?(x)?2?1 x当x?(0,)时，h?(x)?0；当x?(,??)时，h?(x)?0.

12121122111?2又h(e)?0,h()?0,h(1)?0，所以h(x)在(0,)有唯一零点x0，在[,??)有唯一零点1，且

222所以h(x)在(0,)单调递减，在(,??)单调递增.

当x?(0,x0)时，h(x)?0；当x?(x0,1)时，h(x)?0；当x?(1,??)时，h(x)?0. 因为f?(x)?h(x)，所以x?x0是f(x)的唯一极大值点. 由f?(x0)?0得lnx0?2(x0?1)，故f(x0)?x0(1?x0). 由x0?(0,1)得f(x0)?1. 4?1?1因为x?x0是f(x)在(0,1)的最大值点，由e?(0,1),f?(e)?0得

f(x0)?f(e?1)?e?2.

所以e?2?f(x0)?2?2 （二）选考题： 22.解：

（1）设P的极坐标为(?,?)(??0)，M的极坐标为(?1,?)(?1?0).

由题设知|OP|??,|OM|??1?4 cos?由|OM||OP|?16得C2的极坐标方程??4cos?(??0) 因此C2的直角坐标方程为(x?2)?y?4(x?0)

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22（2）设点B的极坐标为(?B,?)(?B?0).

由题设知|OA|?2,?B?4cosa， 于是?OAB面积

S?1|OA|?Bsin?AOB 2?4cosa|sin(a?)|

3??3?2|sin(2a?)?|

32?2?3. 当a???12时，S取得最大值2?3

所以?OAB面积的最大值为2?3 23.解：

（1）(a?b)(a5?b5)?a6?ab5?a5b?b6

?(a3?b3)2?2a3b3?ab(a4?b4) ?4?ab(a2?b2)2

?4

（2）因为(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

?2?3ab(a?b)

3(a?b)2?2?(a?b)

43(a?b)3?2?

4所以(a?b)?8，因此a?b?2.

第 11 页 共 21 页

3绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）

理科数学

本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。 1?2i1．?

1?2i43433434A．??i B．??i C．??i D．??i

555555552．已知集合A?{(x,y)|x2?y2?3,x?Z,y?Z}，则A中元素的个数为

A．9 B．8 C．5 D．4

ex?e?x3．函数f(x)?的图象大致为

x2

4．已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)? A．4

22B．3 C．2 D．0

5．双曲线

xy??1(a?0,b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为 a2b2B．y??3x

C．y??2x 2A．y??2x 6．在△ABC中，cosA．42 D．y??3x 2C5?，BC?1，AC?5，则AB? 25开始B．30 C．29 111117．为计算S?1??????，设计了右侧的程

23499100在空白框中应填入 A．i?i?1

B．i?i?2

第 12 页 共 21 页 D．N2?50, T?0i?1是1ii?100否序框图，则

N?N?T?T?S?N?T输出S结束1i?1C．i?i?3 D．i?i?4

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30?7?23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

1111 B． C． D． 121415189．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，AA1?3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为

A．

551A． B． C．

65510．若f(x)?cosx?sinx在[?a,a]是减函数，则a的最大值是

D．2 2ππ3π B． C． D．π 42411．已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数，满足f(1?x)?f(1?x)．若f(1)?2，

A．

则f(1)?f(2)?f(3)??f(50)? A．?50 B．0 C．2 D．50

3x2y212．已知F1，F2是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为6ab的直线上，△PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，则C的离心率为 211 B． C． 323二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y?2ln(x?1)在点(0,0)处的切线方程为__________．

A．D．

1 4?x?2y?5≥0,?14．若x,y满足约束条件?x?2y?3≥0,则z?x?y的最大值为__________．

?x?5≤0,?15．已知sinα?cosβ?1，cosα?sinβ?0，则sin(α?β)?__________． 16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为

面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1??7，S3??15．

第 13 页 共 21 页

7，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的8（1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,???30.4?13.5t；根据2010,17）建立模型①：y??99?17.5t． ,7）建立模型②：y（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）

设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8． （1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 20．（12分）

如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22，

PA?PB?PC?AC?4，O为AC的中点．

P（1）证明：PO?平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M?PA?C为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值． 21．（12分）

已知函数f(x)?ex?ax2．

（1）若a?1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a．

第 14 页 共 21 页

ABOMC（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

?x?2cosθ,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（θ为参数），直线l的参数方程为

y?4sinθ,??x?1?tcosα,（t为参数）． ?y?2?tsinα,?（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数f(x)?5?|x?a|?|x?2|．

（1）当a?1时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a的取值范围．

第 15 页 共 21 页

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）

理科数学试题参考答案

一、选择题 1．D 7．B

2．A 8．C

3．B 9．C

4．B 10．A

5．A 11．C

6．A 12．D

二、填空题 13．y?2x 三、解答题 17．解：

（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1?3d??15． 由a1??7得d=2．

所以{an}的通项公式为an?2n?9． （2）由（1）得Sn?n2?8n?(n?4)2?16． 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为?16． 18．解：

（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

14．9

15．?1 216．402π

???30.4?13.5?19?226.1(亿元)． y利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

??99?17.5?9?256.5(亿元)． y（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y??30.4?13.5t上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016

??99?17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，年的数据建立的线性模型y第 16 页 共 21 页