[答案：（1）10N；（2）10N，30N]
解：（1）取球与斜面的接触点为转轴：mgRsin370?T(R?Rcos372)?0，得T=10N; （2）取球心为转轴得，f=T=10N;
取C点为转轴：f(R?Rcos370)?NRsin370?0，得N=30N.
12. 一根质量均匀的米尺AB用细绳悬挂,现用重为米尺重量的5/3倍的砝
码挂在尺上某点,这时两端细绳成如图所示,米尺呈水平状态,则此砝码距A点的距离应为多少? （答案：0.1m）
解:米尺长用L表示,重用G表示,设砝码距A点的距离为x,
对悬挂点,有力矩平衡:L?G??L?x??G,解得x=0.1m. 13. 两根细线悬挂在同一点,另一端分别系有带电小球A、B,静止时如图所
0
示,已知绳长OB=2OA,两球的质量关系是MA=2MB,?=45,求?.
0
（答案：45）
0
(对整体,根据对O点的力矩平衡,?=?=45)
14. 水平路面上有一根弯成直角的铁条ABC,AB段和BC段的长度相等,质量分
别是M1和M2,通过系在角顶B的绳子用平行于路面的力匀速地拉铁条,如
图所示,求绳子必须与AB成多大的角. （答案：????tan?1 (根据摩擦力矩对B点的力矩为零,得????tan?1M1 M2M1） M214?1?4?5?3
(2)二力杆：两端受力的杆，力的作用线一定沿杆(根据力矩平衡)。 15. 如图所示，每侧梯长为L的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处与
地面间的动摩擦因数分别为?A=0.2，?B=0.6，C点用光滑的铰链连接，不计梯重，求人最多能爬多高。（答案：0.45L）
解：若B端开始滑动，AC为二力杆，地面对A端的作用力方向与竖直方向夹角为30?，
-1-1
而A点对应的摩擦角?A=tan?A=tan0.2<30?。AC杆不能衡。
若A端开始滑动，AB为二力杆，地面对B端的作用力方向与竖直方向夹角为30?，而B点对应
-1-1
的摩擦角?B=tan?B=tan0.6>30?。AB杆能衡。
所以人必须从A点沿梯上爬，此时B端受到地面的作用力沿着BC方向。 对整体，根据三力共点，人的重力作用线必通过FA和FB的交点。
设人的水平距离为s，有几何关系（两边高相等）：scot?A=(L-s)cot30?， 得s=0.26L,最大高度H=3s=0.45L。
16. 如图所示，一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一
细棒相连，两棒的长度相等，两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力（在纸面内）可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90?，且C端正好在A端的正下方。 （1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？说明道理（不要求推算）。
（2）如果AB棒的质量为m1，BC棒的质量为m2，求此外力的大小和方向。
5
12g2m12?10m2?8m1m2] 4 解（1）设F的方向与AC夹角为?，如果当m1质量很小时，AB对BC的作用力沿AB方向，则
1-1
F的方向必交于AB的中点，?=45?-tan2=18?.24?；
[答案：（1）F的方向与AC夹角范围18?.24?-45?间；（2）F?如果当m2质量很小时，则F的方向沿BC方向，?=45?。 所以F方向的范围是?=18?.24?-45?间。
L （2）以A为转轴，对两棒有：(m1?m2)g?sin450?F?2Lsin?----?
2L以B为转轴，对BC有：m2g?sin450?F?Lsin(450??)----?
2sin(45?-?)=sin45?cos?-cso45?sin?----?
12有???式得F的大小：F?g2m12?10m2?8m1m2；
4F的方向与竖直线的夹角?=tan?1可见，m1=0时，?=tan?1m1?m2.
3m2?m11?18?.24?；m2=0时，?=tan?11?45?. 33.物体的平衡条件：F=0；M=0
17. 质量为m的均匀柔软绳,悬挂于同一高度的两固定点A、B之间,已知绳的悬挂点处的切线与水
mgmgcot?平面夹角为?,求绳的悬挂点处及绳的最低点处的张力. （答案：） ,2sin?218. 如图所示,质量为m的物体放在斜面上,它跟斜面之间的动摩擦因数
为?.则当斜面倾角?大于 时,无论水平推力F多大,物体
-1
不可能沿斜面向上运动（答案：cot?）
无论水平推力F多大,物体不可能沿斜面向上运动，这种情况称为自锁。
如放在水平地面上的物体，跟水平面之间的动摩擦因数为?.推力F与水平面之间的夹角为?，则当?大于时，无论水平推力F多大,物体不可能运动。
?mg有Fcos?=(mg+Fsin?)?，得F?,推不动：cos?-?sin?=0,cot?=?.
cos???sin?或Fcos?（增加的动力）?Fsin??（增加的阻力），得cot???. 19. 有一轻质木板AB长为L,A端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水
平轻绳BC拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r,重均为G.木板与墙的夹角为?(如图所示).一切摩擦均不计,求BC绳的
3Gr11?2sin?张力. [答案：T?(?)]
L1?cos?cos? 解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同.
解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC绳的张力.比较麻烦.
解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC绳的张力.但弹力的力臂比较难求.
解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N1=3Gcot?.
再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N1,BC绳的拉力T,重力3G,A点的作用力N(N对A点的力矩为零).
6
对A点,有力矩平衡TAC?N1AD?3G(r?2rsin?)
?式中AD?r/tan,AC?Lcos?
23Gr11?2sin?有上述四式可行T?(?).
L1?cos?cos?
20. 一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙
间的静摩擦因数分别为?1、?2。求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。
1??1?2（答案：??tan?1）
2?1 解法1：设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为?， 则有f1=?1N1, f2=?2N2（同时达到最大，与上题有区别） 水平方向：?1N1=N2，竖直方向：?2N2+N1=G， 得：G=?2N2+N2/?1------?
L取A点为转轴：Gcos??LN2sin??L?2N2cos??0-----?
21??1?21??1?2解得tan??，即??tan?1。
2?12?1 解法2：地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点（如图的D点）
则有：tan?1=?1,tan?2=?2，
BCDH?DEDHDE11有几何关系：tan??????cot?1?tan?2，
AC2AH2AH2EB221??1?2可解得：??tan?1。
2?1
三、平衡的种类
1.平衡的种类:稳定平衡；随遇平衡；不稳定平衡。
2.判断平衡种类的方法：力矩比较；支持面判断；重心升降。
21. 粗细均匀、长为L、密度为?的木杆,下端用细线系在容器底下,然后在容器中逐渐加水(水
?L）的密度为??,??>?),则木杆浸没水中的长度至少为多少时，木杆才能竖直. （答案： ??LL? 力矩比较：竖直的条件是恢复力矩L?S??g?sin?=LS?g?sin?，
22?L 木杆浸没水中的长度至少为得L????22. 边长为a的均匀立方体,平衡地放在一个半径为r的圆柱面顶部,如
图所示,假定静摩擦力很大,足以阻止立方体下滑,试证明物体的稳定平衡的条件为r>a/2.
解法1，支持面判断：a作微小转动时,均匀立方体与圆柱面接触点移动的距离等于弧长=r?,此时重力垂线与均匀立方体底交点
a移动的距离=tan?。
2注意：作微小转动??0，tan??sin???，且弧长等于弦长。
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aatan?,得r>。 22 解法2，重心升降法（最常见的解法）：设均匀立方体的重心为O ?，原来与球面的接触点为A，转过一个微小角度?后的接触点为B。 注意：圆心角、弦切角和切线间的夹角关系。
acos?O?A的高度为：; AB的高度为：r?sin?; OB的高度为：rcos?.
2acos?a稳定平衡的条件：+ r?sin?+ rcos?--r>0,
22a?22?当?很小时：sin?=?，cos?=1?2sin。代入上式得：r>。 ?1?22223. 如图所示，一个左右完全对称的熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别
为a、b，且长轴的长度为c，蛋圆的一端刚好可以在水平面上处于稳定平衡，若要使蛋的尖端在一半球形的碗内处于稳定平衡，半球形碗
c?a的半径应满足什么条件？（答案：R?b）
c?a?b 重心升降：因蛋圆的一端刚好可以在水平面上处于稳定平衡，说明重心在O1处，重心离蛋的尖端的距离为c-a。
把半球形碗的球心记为O，使蛋转过一个微小的角度?，蛋与碗的接触点为A,有数学知识易知，O、O2、A三点共线，设OA与竖直线的夹角为?，则有：R?=b?-----?
设蛋的尖端为B，最低点为C，半球形的碗的最低点为D，半径为R,A点比B点低,比C点高。 则O1B的高度为：（c-a）cos(?-?)
???BC的高度为：b(?-?)sin(弦切角等于圆心角的一半)
2??CA的高度为：b?sin, AD的高度为:R? sin
22?????稳定条件：（c-a）cos(?-?)+b(?-?)sin-b?sin+R?sin-(c-a)>0--?
222稳定平衡的条件为r?>
?2?2当?很小时：cos?=1-、sin?=?。有??式，得：(R-b)[(c-a-b)R-b(c-a)]<0 22因R>b,所以(c-a-b)R c?a?b四、流体静力学： 1、流体对接触面的压力与接触面垂直。 2、浮力的大小等于上下压力差。 22 如：大气压强为P气体对半球面的压力F=?PR（不是2?PR）。 24. 如图所示,有一质量为m、半径为r的半球放在盛有密度为?的液体的 容器底部,它与容器底部紧密接触(即半球表面与容器底面间无液体),液体的深度为H.求半球对容器底部的压力. 2r32 [答案：F=?g?(Hr-)+mg+P0?r，P0为大气压强] 32 解:液体对半球的压力可等效于:若液体对半球底有向上的压力,则向上的压力与向下的压力差等于浮力, 32?r3222r则F向下=F向上-F浮=?gH?r-?g?=?g?(Hr-), 33 8