力、物体的平衡
补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。 一、力学中常见的三种力 1.重力、重心 ?重心的定义：x?m1gx1?m2gx2???，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
m1g?m2g????重心与质心不一定重合。如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。 如将质量均匀的细杆AC（AB=BC=1m）的BC部分对折,求重心。 以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（不是重力相等）：
GG（0.5-x）=(x+0.25),得x=0.125m（离B点）.
22GG或以A点为转轴：0.5? +(1+0.5)=Gx?,
22得x?=0.875m，离B点x=1-x?=0.125m. 2.巴普斯定理：
?质量分布均匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积剩平面薄板重心通过和路程。 如质量分布均匀的半圆盘的质心离圆心的距离为x，
414R绕直径旋转一周，?R3?2?x??R2，得x?
323??质量分布均匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度剩曲线的重心通过路程。
如质量分布均匀的半圆形金属丝的质心离圆心的距离为x，
2R绕直径旋转一周，4?R2?2?x??R，得x?
?1. （1）半径R=30cm的均匀圆板上挖出一个半径r=15cm的内
切圆板，如图a所示，求剩下部分的重心。
（2）如图b所示是一个均匀三角形割去一个小三角形
1AB?C?，而B?C?//BC，且?AB?C?的面积为原三角形面积的，
4已知BC边中线长度为L，求剩下部分BCC?B?的重心。
R2L[答案：(1) 离圆心的距离；(2)离底边中点的距离]
69 解(1)分割法:在留下部分的右边对称处再挖去同样的一个圆,则它关于圆心对称,它的重心在圆心上,要求的重心就是这两块板的合重心,设板的面密度为?，重心离圆心的距离为x.
RRRR
有力矩平衡: ?[R2?2()2]?x??()2?(?x),得x?=5cm.
2226
填补法:在没挖去的圆上填上一块受”重力”方向向上的圆,相当于挖去部分的重力被抵
R
消,其重心与挖去后的重心相同,同理可得x?.
6
能量守恒法:原圆板的重力势能等于留下部分的重力势能和挖去部分的重力势能之和,
R
可得x?.
6
1
(2) ?AB?C?的面积为原三角形面积的1/4，质量为原三角形质量的三角形中线长度的
1。 21，中线长度应为原4L，且在中线上。 32L类似于（1）的解法，可得重心离底边中点的距离x?，且在原三角形的中线上。
9 思考：三根均匀杆AB、BC、CA组成三角形，其重心在哪？（内心，要用解析几何） 2. 完全相同的4块砖，每块砖的长都为0.3m，叠放在水平桌面
上，如图所示。求它的最大跨度（即桌边P点离最上面一块砖右边的Q点的水平距离）。（答案：0.3125m）
设原三角形BC边的中线长为L。原重心离BC边的距离为
L1115(1????)?m=0.3125m 2234163. 一薄壁圆柱形烧杯,半径为R,质量为m,重心位于中心线上,离杯底的高度为H,今将水慢慢注
解：Lm?入烧杯中,问烧杯连同杯中的水共同重心最低时水面离杯底的距离是多少？(设水的密度为
?)（答案：h??m?m2?2?R2?mH2?R? 解:开始注水时共同重心在水面之上,这时如果加水,就等于在共同重心下方加质量,所以重心将会随着水的注入而逐渐下降.
当重心下降到水面时,重心最低,因为此时如果再加水,就是在共同重心上方加质量,重心就会升高.
重心最低时水面离杯底的距离为h应满足:??Rhg解得:h??m?m2?2?R2?mH22
）
h2
+mgH=(?Rh?+m)hg, 2?R?2.弹力、弹簧的弹力（F=kx,或F=-kx） （1）两弹簧串联总伸长x，F=？ 由x1+x2=x,k1x1=k2x2，得x2?.
k1xkkx,所以F?k2x2??12?kx.
k1?k2k1?k2（2）并联时F=(k1+k2)x.
(3)把劲度系数为k的弹簧均分为10段，每段劲度系数k?=?(10k)
4. 一个重为G的小环，套在竖直放置的半径为R的光滑大圆上。一个劲度系数
为k，自然长度为L（L<2R）的轻质弹簧,其上端固定在大圆环最高点,下端与小环相接,不考虑一切摩擦,小环静止时弹簧与竖直方向的夹角为:
kL . （答案：cos?1）
2kR?2G 提示:力的平行四边形为等腰三角形.
2
3.摩擦力
（1）摩擦力的方向：
?静摩擦力的方向：跟运动状态与外力有关。 ?滑动摩擦力的方向：跟相对运动方向相反。
0
5. 如图所示,在倾角θ=30的粗糙斜面上放一物体,物体的重力为G,现用
与斜面底边平行的水平作用力F(F=G/2)推物体,物体恰好在斜面上作匀速直线运动,则物体与斜面的动摩擦因数为 . （答案：
6） 36. 如图所示，一个质量m=20kg的钢件，架在两根完全相同的、平行
的直圆柱上。钢件的重心与两柱等距。两柱的轴线在同一水平面内。圆柱的半径r=0.025m，钢件与圆柱间的动摩擦因数?=0.20。两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动，角速度?=40rad/s，若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件作速度为v=0.050m/s的匀速运动，求推力的大小。设钢件左右受光滑导槽限制（图中未画出），不发生横向运动。（答案：2.0N）
解：因滑动摩擦力的方向与相对滑动方向相反。
?mg所以推力大小F=2fcos?=?mgcos?==2.0N。
21?(r?/v)（2）摩擦角:f和N的合力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角（f达到最大）叫摩
-1-1
擦角，摩擦角?=tanf/N=tan?。摩擦角与摩擦力无关，对一定的接触面，?是一定的。 7. 水平地面上有一质量为m的物体,受斜向上的拉力F作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦
因数为?,则为使拉力F最小,F与水平地面间的夹角多大?F的最小值为多少?
?mg-1
（答案：tan?；）
21?? 解:先把f和N合成一个力T,因f和N成正比,所以当F发生变化时T的大小也要发生变化,但方向不变,且
f-1
?=tanN=tan-1?. 这样,就把四个力平衡问题变成了三
个力平衡问题,如左图所示.根据平行四边形定则,当F和T垂直时F最小,如右图所示.得F与
??mg-1
水平地面间的夹角?=?=tan?, sin?=，F的最小值Fmin=mgsin?=.
221??1?? 另解：设F与水平面成?角时F最小,
?mg有Fcos?-?(mg-Fsin?)=0,得F?,
cos???sin??mgsin??mg,
令?=cot?,代入上式得F?=。
2sin(???)1??8. 将质量为M的小车沿倾角为?,动摩擦因数为?的斜面匀速拉上,求拉力的方向与斜面夹角?为多大时,拉力最小?最小的拉力为多大?
Mgsin???Mgcos?-1
（答案：tan?；?）
21?? 解:小车受四个力作用处于平衡,先把摩擦力f和支持力N合成一个力R,因f和N成正比,所以R和N的
3
夹角?=tan?,这样问题就转化成小车在三个力作用的平衡问题.小车受到的重力Mg的大小
-1
和方向都保持不变,当拉力F和R垂直时,F最小，?=?=tan?,
Mgsin???Mgcos?-1
最小值为：Fmin=Mgsin(?+?)=Mgsin(?+tan?)?.
21??
二、物体的平衡
1.三力平衡特点 (1)任意两个的合力与第三个力是一对平衡力
(2)三力汇交原理：互不平行的三个力处于平衡，这三个力的作用线必交于一点。
?确定墙壁或天花板对杆的弹力方向？
?若墙壁与杆间动摩擦因数为?，物体只能挂在什么范围？
9. 如图所示,质量为M的杆AB静止在光滑的半球形容器中,设杆与水平方
向的夹角为?.则容器面对杆A点的作用力F为多大? （答案：F?Mgtan?） 解：F的作用线通过圆心 B点对杆的作用力N与相垂直 角度关系如图所示
根据正弦定理
Mgsin(900??)?F sin?-1
得F?Mgtan? 2.力矩和力矩平衡:M=FL
(1)力矩的平衡条件:对任意点
?M?0也常用来受力分析，如三个完全相同的小球叠放在水平地面上处于静止状态,则
下面的球受到几个力作用?
对球心,根据力矩平衡可知，下面的球受到二个大小相等的摩擦力,共五个力作用 这是确定圆柱体受摩擦力的常用方法。
又如板与墙之间夹一球，两边的摩擦力大小相等，若?相同，对球心有M?0得板对球
?M?0
?的弹力大，可判断沿墙滑动，沿板滚动。
10. 如图所示，质量为M的立方块和质量为m的圆柱体置于倾角为?的
固定斜面上，立方体和圆柱体与斜面间的动摩擦因数都为?，立方体与圆柱体之间摩擦不计。求当平行于斜面的作用力F多大时，立方体和圆柱体沿斜面向上匀速运动。 [答案：F=(Mg+mg)sin?+?mgcos?] 解：对圆柱体，以圆心为转轴，根据力矩平衡可知，圆柱体与斜面间的摩擦力为零（这是确定摩擦力的常用方法）。 所以F=(Mg+mg)sin?+?mgcos?.
注意：若M和m间有摩擦，则球受两个大小相等的摩擦力，先要分析哪一接触面先达到最大，即先滑动。
11. 将重为30N的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC0
与水平面平行，C点为球的最高点斜面倾角为37.求： (1)绳子的张力.
(2)斜面对球的摩擦力和弹力.
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