第5章 振动和波动

5-1 一个弹簧振子m?0.5kg，k?50Nm，振幅A?0.04m，求 (1) 振动的角频率、最大速度和最大加速度；

(2) 振子对平衡位置的位移为x = 0.02m时的瞬时速度、加速度和回复力； (3) 以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。 解：（1）??k50??10m0.5(rads)

vmax??A?10?0.04?0.4(m/s)amax??A?10?0.04?4(m/s)(2) 设x?Acos(?t??)，则

222

dxd2xv????Asin(?t??) a?2???2Acos(?t??)???2x

dtdt当x=0.02m时，cos(?t??)?1/2,sin(?t??)??3/2，所以

v??0.2?3??0.346(m/s)a??2(m/s2)F?ma??1(N)(3) 作旋转矢量图，可知：???

π 2π x?0.04cost(?10

2)5-2 弹簧振子的运动方程为x?0.04cos(0.7t?0.3)(SI)，写出此简谐振动的振幅、角频率、频率、周期和初相。

A=0.04(m)????0.7(rad/s)???0.3(rad)解：

???2π?0.11(Hz)T?1??8.98(s)

5-3 证明：如图所示的振动系统的振动频率为

??1k1?k2 2πm为物体的质量。

式中k1,k2分别为两个弹簧的劲度系数，m

解： 以平衡位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向。设物体处在平衡位置时，弹簧1的伸长量为x10,弹簧2的伸长量为x20，则应有

?k1x10??k2x20?0

当物体运动到平衡位置的位移为x处时，弹簧1的伸长量就为x10?x，弹簧2的伸长量就为x20?x，所以物体所受的合外力为

F??k1(x10?x)?k2(x20?x)??(k1?k2)x

d2x由牛顿第二定律得 m2??(k1?k2)x

dtd2x(k1?k2)?x?0 即有 dt2m上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为

??k1?k2x m振动的频率为 ???2π?1k1?k2

2πm5-4 如图所示，U形管直径为d，管内水银质量为m，密度为ρ，现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。

习题5-4 图

解：以平衡时右液面位置为坐标原点，向上为x轴正方向，建立坐标系。右液面偏离原点为至x时，振动系统所受回复力为：

πd2πd2?gF???2x??g??x

42πd2?g振动角频率 ?? 2m振动周期 T?2π2m 2πd?g5-5 如图所示，定滑轮半径为R，转动惯量为J，轻弹簧劲度系数为k，物体质量为m，现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力。试证明该系统作简谐振动，并求其作微小振动的周期。

解：弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用，非保守内力作功之和为零，系统机械能守恒，以物体的平衡位置为坐标原点向下为x轴正方向，建立坐标系。设平衡时弹簧伸长l0，有：mg?kl0 （1）

物体位于x位置时（以原点为重力势能零点）：

11?v?1k(x?l0)2?J???mv2?mgx?C 22?R?2对上式两边求导：

2k(x?l0)v?Jva??mva?mgv?0 RR从上式消去v，且将（1）式代入，得到

a??kJ?mR2x???2x

??R2k

J?mR2说明系统作简谐振动。振动周期为：

J?mR2 T?2π2Rk5-6 如图所示，轻弹簧的劲度系数为k，定滑轮的半径为R、转动惯量为J，物体质量为m，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。

习题5-6 图

解：设任意时刻t，物体m离平衡位置的位移为x，速率为v，则振动系统的总机械能

11?v?1E?kx2?C?J???mv2?恒量

22?R?2式中C为滑轮的重力势能，为一常量，上式两边对t求导得

2kxv?Jva??mva?0 RRka??x???2x

J?mR2于是

??R2k 2J?mRJ?mR2 T?2πR2k5-7 如图所示，质量为10g的子弹，以v0?1000ms速度射入木块并嵌在木块中，使弹簧压缩从而作简谐运动，若木块质量为4.99kg，弹簧的劲度系数为8?103Nm，求振动的振

幅。（设子弹射入木块这一过程极短）

解：先讨论子弹与木块的碰撞过程，在碰撞过程中，子弹与木块组成的系统的动量守恒，

设碰撞后子弹与木块共同以速度v运动，则有

mv0?(m?m?)v mv0v??2(m/s)m?m?然后系统做简谐振动，因为简谐振动过程中机械能守恒，所以振幅A可由初始时刻系统的机械能确定，已知初始时刻系统的势能为零，所以有

11(m?m?)v2?kA2 22A?m?m?0.01?4.99v??2?0.05m 3k8?105-8 如图所示，在一个倾角为?的光滑斜面上，固定一个原长为l0、劲度系数为k、质量可以忽略不计的弹簧，在弹簧下端挂一个质量为m的重物，求重物作简谐运动的平衡位置和周期。

解： 设物体处在平衡位置时弹簧伸长量为x0,则

mgsin??kx0平衡位置距O?点为：l0?x0?l0?x0?mgsin? kmgsin? k以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴Ox，当物体运动到离开平衡位置的位移为x处时，弹簧的伸长量就是x0?x,所以物体所受的合外力为

F?mgsin??k(x0?x)即F??kx

物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为

T?2πm k5-9 两质点分别作简谐振动，其频率、振幅均相等，振动方向平行。在每次振动过程中，它们在经过振幅的一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们相差，并用旋转矢量图表示

出来。

AA和x??处相向通过，由此可以画出相应的旋转

2224矢量图，从旋转矢量图可得两个简谐振动的相位差为???π或???π。

33解：根据题意，两质点分别在x?A24π3OA1A22π3A1Oxx 习题5-9图 5-10 一简谐振动的振幅A = 24cｍ、周期T = 3s，以振子位移x = 12cm、并向负方向运动时为计时起点，作出振动位移与时间的关系曲线，并求出振子运动到x = -12cｍ处所需的最短时间。

2π2ππ?，又由旋转矢量法可知?? T33

2ππx所以振动方程为：x?0.24cos(t?)(m) 33 解：依题意可得，??质点运动到x = -12cｍ处最小相位变化为π3，所以需要最短时间为

A/2o?A3习题 5-10图

t(s)

??π3t?T??3?0.5(s)

2π2π

5-11 如图所示，一轻弹簧下端挂着两个质量均为m = 1.0kg的物体B和C，此时弹簧伸长2.0cｍ并保持静止。用剪刀断连接B和C的细线，使C自由下落，于是B就振动起来。选B开始运动时为计时起点，B的平衡位置为坐标原点，在下列情况下，求B的振动方程

(1)x轴正向向上；

(2)x轴正向向下。

习题5-11 图

解：已知m=1kg,lBC?0.02m,可得k?2mg/lBC?1000(N/m)

??k?1010(rad/s) m当以B的平衡位置为坐标原点，振动振幅为

A?0.02?mgk?0.02?0.01?0.01(m)

由题意知，振动初速度v0?0 (1)x轴正向向上时：x0??0.01(m)???

振动方程为x?0.01cos(1010t??)(m) (2)x轴正向向下 时：x0?0.01(m)振动方程为x?0.01cos(1010t)(m)

5-12 劲度系数为k的轻弹簧，上端与质量为m的平板相联，下端与地面相联。如图所示，今有一质量也为m的物体由平板上方h高处自由落下，并与平板发生完全非弹性碰撞。以平板开始运动时刻为计时起点，向下为正，求振动周期、振幅和初相。

??0

习题5-12 图

解：物体下落与平板碰撞前速度：v?2gh

?mv?(m?m)v0

所以物体与平板碰撞后共同运动的速度：v0?12gh 2mg k以平衡位置为坐标原点，向下为x轴正方向，建立坐标系。依题意：x0??在x处，物体和平板受力：

F?2mg?k(x?则：T?2π2v02mg)??kx k2mk??2πk ?T2mm2g22gh/4122A?x?2???mg?mgkh 2?kk/2mk20见旋转矢量图，有：

????arccos(x0mg)???arccos 22Amg?mgkh

5-13 在一平板上放一重9.8N的物体，平板在竖直方向作简谐振动，周期T =0.50s，振幅A =0.020m，试求

(1)重物对平板的压力F；

(2)平板以多大振幅运动时，重物将脱离平板?

解：以平衡位置为坐标原点，向下为x轴正方向，物体在x处时，

NOmgx 习题 5-13图

mg?N?ma??m?2xN?mg?m?x?9.8?16?x22

(1)重物对平板的压力F?9.8?16?x

（2）当N=0时重物将脱离平板，由N?9.8?16?2xmax?0，得

2xmax??0.062(m),A?xmax?0.062(m)

5-14 一木块在水平面上作简谐运动，振幅为5.0cｍ，频率为?，一块质量为m的较小木块叠在其上，两木块间最大静摩擦力为0.4ｍg，求振动频率至少为多大时，上面的木块将相对于下面木滑动?

解：以平衡位置为坐标原点，向右为x轴正方向，建立坐标系，小木块在x处：

OFxF??m?2x??2π?2?? TOxx 在最大位移处，F最大，Fmax?m?2x

习题 5-14图

当Fmax?fs，即m?2A??smg时小木块开始相对于大木块滑动，由此得：

????g?s?8.85(rad/s) A8.85?1.4(Hz) 2π振动频率至少应略大于1.4Hz时，上面小木块相对于下面木块滑动。

5-15 一台摆钟的等效摆长L = 0.995ｍ，摆锤可上下移动以调节其周期。该钟每天快1分27秒。假如将此摆当作一个质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离，才能使钟走得准确?

解：设原摆钟周期为T，钟走时准确时，其钟摆长为L?，周期为T?，则

T?24?60?60?8786487?? T24?60?6086400L?T?2?86487?而?()L????0.995?0.997(m) LT?86400?L??L?0.002(m)?2(mm)

应将摆锤下移2mm。

25-16 一弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 25Nm，当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，求

(1) 振幅；

(2) 位移是多大时，势能和动能相等? (3) 位移是振幅的一半时，势能多大? 解：（1）E?Ek0?Ep0?0.2?0.6?0.8(J)

1?E?kA22(2) Ek?Ep时，Ep??A?2E?0.253(m) k1111E，即kx2??kA2，得 2222x?(3)当x?2A?0.179(m) 21A1111A时，Ep?k()2??kA2?E?0.2(J) 222424πx1?0.04cos(2t?)(SI)

6πx2?0.03cos(2t?)(SI)

65-17 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，两个振动的振动方程为

求合振动的振幅和初相。 解：A?2A12?A2?2A1A2cos(?2??1)?42?32?2?4?3?cos?3?6.08(cm)

?3?sin(?)A1sin?1?A2sin?266?4.70 ??arctan?arctan??A1cos?1?A2cos?24?cos?3?cos(?)665-18 有两个同方向、同频率的简谐振动，它们合振动的振幅为10cm，合振动与第一个振动的相差为π/6，若第一个振动的振幅A1=8.0cm，求

（1）第二个振动的振幅A2；

（2）第一个振动和第二个振动的相位差。 解：依题意，作旋转矢量图，可知

4?sin??????2??1?A?π6A1?1习题 5-18图

?A2?2xx

A2?A2?A12?2AA1cos?6?102?82?2?10?8?3?5(cm) 22A2?A12?A2cos????0.1312A1A2

???8205-19 已知两个分振动的振动方程分别为

x?2cosπt

πy?2cos(πt?)

2求合振动轨道曲线。

解：两个振动方程消去t得：x2?y2?4,所以合振动轨迹是圆。

5-20 质量为4536kg的火箭发射架在发射火箭时，因向后反冲而具有反冲能量，这能量由发射架压缩一个弹簧而被弹簧吸收。为了不让发射架在反冲终了后作往复运动，人们使用一个阻尼减震器使发射架能以临界阻尼状态回复到点火位置去。已知发射架以10ms的初速向后反冲并移动了3m。试求反冲弹簧的劲度系数和阻尼减震器提供临界阻尼时的阻力系数。

解：已知 m=4536kg，v0=10m/s，A=3m 反冲时，反射架动能转换成弹簧弹性势能

1212kv010mv0?kA，得????0 22mA32mv04536?102k?2??50400(N/m)

A32临界阻尼时???0，由???2m有，阻力系数：

??2m?0?2?4536?310?30240(kg/s) 35-21 已知地壳平均密度约2.8?103kgm，地震波的纵波波速约5.5×103ms，地震波的横波波速约3.5×103ms，计算地壳的杨氏模量与切变模量。

解:由U纵?Y?得，Y?U纵??8.47?10（kg/m?J)

2102由U横?G?得，G?U横??3.43?10（kg/m?J)

21025-22 已知空气中的声速为344ms，一声波在空气中波长是0.671m，当它传入水中时，波长变为2.83m，求声波在水中的传播速度。

解：根据波在不同介质中传播时，频率不变，又因为??u/?，得

u水?水?u空?空，所以u水??水u空3?1.451?10（m/s) ?空5-23 有一沿x轴正方向传播的平面简谐横波，波速u =1.0ms，波长λ = 0.04ｍ，振幅A = 0.03ｍ，若从坐标原点O处的质元恰在平衡位置并向y轴负方向运动时开始计时，试求

(1) 此平面波的波函数；

(2) x1=0.05ｍ处质元的振动方程及该质元的初相位。 解：（1）由题知：u=1m/s,??0.04m,所以

??2????2??0.01?50?(rad/s)

0.04O处质点的振动方程为：y0?0.03cos(50?t?所以，波函数为:y?0.03cos(50?t?50?x?(2)当x1=0.05ｍ时，代入波函数有

?2)

?2)

y?0.03cos(50?t?2?)?0.03cos50?t

初相位??0或-2?。

5-24 有一沿x轴正向传播的平面简谐波，波速为2ms，原点处质元的振动方程为

y?0.6cosπt(SI)，试求

(1) 此波的波长； (2) 波函数；

(3) 同一质元在1秒末和2秒末这两个时刻的相位差； (4) xA=1.0m和xB=1.5m处两质元在同一时刻的相位差。 解：由题意可得：A=0.6m,???(rad/s)，T?(1) ??uT?2?2?4m (2) y?0.6cos(πt?2???2s

πx) 2(3) 同一质点，位置（x坐标）不变

????????2?2?(4)同一时刻，t不变

???x?????1?2???4?x??? ?????即B点比A点落后

?2?xB?xA???

?。 45-25 振动频率为??500Hz的波源发出一列平面简谐波，波速u?350ms，试求 (1) 相位差为π3的两点相距多远；

(2) 在某点，时间间隔为?t?10?3s的两个状态的相位差是多少？ 解：(1) ??uT?u/??350/500?0.7m

?x?(2) ?????π/3???0.7?0.117m 2π2π2π?t?2π??t?2π?500?10?3?π T5-26 有一波长为λ的平面简谐波，它在a点引起的振动的振动方程为

y?Acos(?t??)，试分别在如图所示四种坐标选择情况下，写出此简谐波的波函数。

习题5-26 图

解：（1）y?Acos[?t?（2）y?Acos[?t?2?x

???]

??]

?2?(x?l)??] （3）y?Acos[?t??2?(x?l)??] (4) y?Acos[?t??5-27 图示为t = 0时刻的平面简谐波的波形，求 (1) 原点的振动方程； (2) 波函数； (3) P点的振动方程；

习题5-27 图

2?x(4) a、b两点的运动方向。

π)(m) 22πu2π?0.082??π(rad/s) 由图可知，??0.4m，所以???0.452π所以：y0?0.04cos(πt?)(m)

522π(2)波函数y?0.04cos(πt?5πx?)(m)

522π23(3) yp?0.04cos(πt?5π?0.4?)?0.04cos(πt?π)(m)

5252 解：（1）原点振动方程：y0?0.04cos(?t?(4) a:向下 b:向上

5-28 一列平面简谐波沿x轴正方向传播，波速为u，波源的振动曲线如图所示。 (1) 画出t = T时刻的波形曲线，写出波函数； (2) 画出x??4处质元的振动曲线。 解：（1）由振动曲线可知，波源振动方程为

2π3πt?)，设波源在x=0处，则波T22π2πx3πy(m)t??) 函数为y?Acos(TTu22πx3π?) 当t = T时，y?Acos(?OTu2y0?Acos(

(2) 当x??A习题5-28 图

x(m)?/2??4时, y?Acos(2πt?π) Ty(m)OT/4?A3T/4t(s)

5-29 已知一平面简谐波的波函数y?Acosπ(4t+2x)(SI)，

(1)写出t = 4.2s时各波峰位置的坐标表示式，计算此时离原点最近的一个波峰的位置，该波峰何时通过坐标原点?

(2)画出t = 4.2s时的波形图。

解：（1）t = 4.2s时，y?Acos(16.8π+2πx)=Acos(0.8π+2πx) 波峰位置所对应的质点的位置为：0.8π+2πx?2kπ (k为整数)

即 x?k?0.4(m) (k为整数)

则此时离原点最近的波峰位置为x=-0.4m。

由于该波向x轴负方向传播，原点比x=-0.4的点先到达波峰

?t??x0?(?0.4)??0.2(s) u2即t?4.2??t?4(s)

(2) t = 4.2s时的波形图（如图）

A0.4y(m)o0.6?0.809Ax(m)5-30 图示为t?0时刻沿x轴正方向传播的平面简谐波的波形图，其中振幅A、波长?、波速u均为已知。

(1) 求原点处质元的初相位?0； (2) 写出P处质元的振动方程； (3) 求P、Q两点相位差。

解：（1）由波形图可知，在t=0时，o点处的质点向 y 轴负向运动 ，利用旋转矢量法可得，?0?习题5-30 图

π。 22ππut?) ?2（2）原点O处质元的振动表达式可写为y0?Acos(P处质元的振动从时间上比O处质元的振动落后

?，因此P处质元的振动表达式为 2u2π?πyp?Acos[u(t?)?]

?2u22ππut?] 得 yp?Acos[?22π2π??x???π （3）P、Q两点相位差为：?????25-31 一线状波源发射柱面波，设介质是不吸收能量的各向同性均匀介质。求波的强度和振幅与离波源距离的关系。

解：取两个长均为l，半径分别为r1和r2的同轴圆柱面S1和S2，由于介质不吸收能量，所以通过S1的平均能流P1与通过S2的平均能流P2相等，

即P1?P2，又因为P?IS,I?PIP/SS2πhr2r2，所以1?11?2?? SI2P2/S2S12πhr1r1?I?1?uA2?2 2?A1Ir?1?2 A2I2r15-32 设简谐波在直径d = 0.10ｍ的圆柱形管内的空气介质中传播，波的强度I = 1.0×10-2Wm2，波速为u = 250ms，频率? = 300Hz，试计算

(1) 波的平均能量密度和最大能量密度各是多少? (2) 相距一个波长的两个波面之间平均含有多少能量? 解：（1）?I??u

I1.0?10?2?????4?10?5(J/m3)

u250?max?2??8?10?5(J/m3)

(2) E??V??πd2?/4??πd2u/4??2.62?10?7(J)

5-33 一个声源向各个方向均匀地发射总功率为10W的声波，求距声源多远处，声强级为100 dB。

解：距声源r处的声波强度为 I?PP? 2S4πr声强级为L?10lgI，式中I0?10?12Wm2， I0P24πr即100?10lg?12，解得：r=8.92m 105-34 设正常谈话的声强I?1.0?10?6Wm2，响雷的声强I??0.1Wm2，它们的声强级各是多少？

I10?6解：正常谈话的声强级为L?10lg?10lg?12?60(dB)

I010I?10?1雷声的声强级为L??10lg?10lg?12?110(dB)

I0105-35 纸盆半径R=0.1m的扬声器，辐射出频率?= 103Hz、功率P = 40W的声波。设空气密度ρ = 1.29kgm，声速u=344ms，不计空气对声波的吸收，求纸盆的振幅。

3解：I?1PPI??uA2?2，所以 ?，又因为22SπRA?2P?4?3.81?10(m) 22πR?u?5-36 P、Q为两个以同相位、同频率、同振幅振动的相干波源，它们在同一介质中传播，设波的频率为?、波长为λ，P、Q间距离为3λ/2，R为PQ连线上P、Q两点外侧的任意一点，求

（1）自P发出的波在R点的振动与自Q发出的波在R点的振动的位相差； （2）R点合振动的振幅。

32π??2π(rRP?rRQ)2??3π 解：（1）R在Q外侧时，????P??Q??0???32π?(??)2π(rRP?rRQ)2 R在P外侧时，????P??Q?0??3π

??(2)P和Q波源在R点引起的振动正好为反相，所以A=0。 5-37 一弦的振动方程为y?0.02cos0.16xcos750t(SI)，求

（1）合成此振动的两个分振动的振幅及波速为多少？ （2）两个相邻节点间的距离为多大？

（3）t=2.0×10-3s时，位于x=5.0cm处的质元的速度为多少？ 解：（1）弦振动为驻波，该振动方程与驻波的标准表达式y?2Acos较，得A=0.01m，

2π?xcos?t相比

2π=0.16，得?=39.2m， ??750rad/s，所以： ???750u??T???4.7?103(m/s)

2π0.16两分振动的振幅都为A=0.01m。 (2)两个相邻节点间的距离为（3）质元的运动速度

?2?18.6m。

v??y??2?750cos0.16xsin750t ?t3t=2.0×10-3s时，位于x=5.0cm处的质元的速度为v??1.04?10(m/s)。

5-38 如图所示，一列振幅为A、频率为?平面简谐波，沿x轴正方向传播，BC为波密介质的反射面，波在P点反射。已知OP?3?4，DP??6，在t?0时，O处质元经过平衡位置向负方向运动。求入射波与反射波在D点处叠加的合振动方程。

解：根据题意，可确定O处质元振动的初相位为

习题5-38 图

π，这样O处质元的振动方程为： 2πy0?Acos(2π?t+)

22ππx+) 入射波的波动表达式为：y入?Acos(2π?t??2反射波在O点的振动相位比入射波在O点的振动相位要落后

???2π(2?3?/4)??π?4π

式中加π是考虑反射端有半波损失而加上的。由此可得反射波在O点的振动方程为

πy反0?Acos(2π?t+4π+)

2反射波向左传播，所以反射波的波动表达式为：

y反?Acos(2π?t?2ππx+) ?2入射波与反射波叠加后形成驻波的波动表达式为：

y?y入?y反?2Acos位于x?2ππxcos(2π?t?) ?23??7???的D点，其合振动表达式为 4612ππ?2π7??yD?2Acos?cos(2π?t?)??3Acos(2π?t?) ??1222??5-39 速度为20ms的火车A和速度也为20ms的火车B相向行驶，火车A以频率? = 500Hz鸣汽笛，试就下列两种情况求火车B中乘客听到的声音的频率。(设声速为340ms)

(1) A、B相遇之前； (2) A、B相遇之后。 解：(1) A、B相遇之前

?R?(2) A、B相遇之后

u?VR340?20?S??500?562.5(Hz) u?VS340?20?R?u?VR340?20?S??500?444.4(Hz) u?VS340?205-40 一人造地球卫星发出?= 108Hz的微波信号，卫星探测器在某一时刻检测到由地面站反射回的信号与卫星发出的信号产生了拍频?? = 2400Hz的拍，求此时卫星沿地面站方向的分速度。

解：设卫星沿地面站方向的分速度为V，由地面站反射回而被卫星接收到的信号为：

???二者之间的频率差为：

c?Vcc?V???

cc?Vc?Vc?V2V?1)??? c?Vc?V????????(可得卫星沿地面站方向的分速度为：

c??3?108?2400V???3.6?103(m/s) 8???2?2400?2?10正号，说明向地面站靠拢。

5-41 从远方某一星体发射的光谱，经研究确认其中有一组氢原子的巴尔末线系。经测定，地球上氢原子的434nm谱线与该星体上氢原子的589nm谱线属于同一谱线。试由此推断该星体是正在远离还是正在接近地球?它相对地球的运动速度是多大?

解：设星体相对地球的运动速度为V，星体上波长为?=434nm的氢原子，地球接收到该氢原子的波长为?′=589nm，频率为ν′，即：

c? c?Vccc= ??c?V???=整理得：V?c(????)?3?108?(434?589)???1.07?108(m)

434 所以此星体正远离地球。