第二十二单元 二次函数

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式

二次函数的基本形式y?a?x?h?2?k的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a?0 向上 ?h，k? X=h x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． a?0 向下 ?h，k? X=h x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． 三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h?2?k，确定其顶点坐标?h，k?； ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下： y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴y?ax2?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成

y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）

⑵y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成

y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c） 四、二次函数y?a?x?h?2?k与y?ax2?bx?c的比较

从解析式上看，y?a?x?h?2?k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可2以得到前者，即y?a??b?4ac?b2b4ac?b2?x?2a???4a，其中h??2a，k?4a． 五、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其

开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的

五点为：顶点、与y轴的交点?0，c?、以及?0，c?关于对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

六、二次函数y?ax2?bx?c的性质

1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??b?b4ac?b2?2a，顶点坐标为???2a，4a?．

?当x??b2a时，y随x的增大而减小；当x??b2a时，y随x的增大而增大；当x??b2a时，y有最小值

4ac?b24a． 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??b?b4ac?b2?b2a，顶点坐标为???2a，4a?．

当?x??2a- 1 -

时，y随x的增大而增大；当x??b2a时，y随x的增大而减小；当x??b2a时，y有最大值4ac?b24a．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；

2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；

3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成

交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

ab的符号的判定：对称轴x??b2a在y轴左边则ab?0，在y轴的右侧则ab?0，概

括的说就是“左同右异”

3. 常数项c c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一

2?的两根．这两点间的距离AB?xb2元二次方程ax?bx?c?0?a?0?4ac2?x1?a. ② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.1' 当a?0时，图象落

在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0；2' 当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0．

2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，

c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与

x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

第一单元 二次根式

1、二次根式

式子a(a?0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“

”；被开

方数a必须是非负数。

2、最简二次根式

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

4、二次根式的性质

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（1）(a)2?a(a?0)

a(a?0)

（2）a2?a? ?a(a?0)

（3）ab?a?b(a?0,b?0)

（4）ab?ab(a?0,b?0)

5、二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

第二单元 一元二次方程

一、一元二次方程

1、一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式

ax2?bx?c?0(a?0)，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法

1、直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x?a)2?b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，

x?a是b的平方根，当b?0时，x?a??b，x??a?b，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式

a2?2ab?b2?(a?b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2?2bx?b2?(x?b)2。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式：

?b?b2x??4ac2a(b2?4ac?0)

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 三、一元二次方程根的判别式

根的判别式

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中，b2?4ac叫做一元二次方程

ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式，通常用“?”来表示，即??b2?4ac ①当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； ②当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； ③当△<0时，一元二次方程没有实数根 四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是xb1，x2，那么x1?x2??a，xc1x2?a。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

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第三单元 旋转

一、旋转 1、定义

把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质

（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 二、中心对称 1、定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3、判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形

把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 考点五、坐标系中对称点的特征 （3分） 1、关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

2、关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）

3、关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）

第四单元 圆

一、圆的相关概念 1、圆的定义

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） （2）直径

经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 直径等于半径的2倍。 （3）半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

三、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦

直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧

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