a1
所以－＝－，即a＝3.
62
由f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，得b＝－12. 所以a＝3，b＝－12.
(2)由(1)，知f(x)＝2x＋3x－12x＋1，
3
2
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．
令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上单调递增； 当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞) 时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x＝1处取得极小值f(1)＝－6. 10．已知函数f(x)＝x－1＋x(a∈R，e为自然对数的底数)．
e(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)求函数f(x)的极值．
解：(1)由f(x)＝x－1＋x，得f′(x)＝1－x.
ee又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴， 得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e. e(2)f′(x)＝1－x，
e
①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值． ②当a＞0时，令f′(x)＝0，得e＝a，即x＝ln a．x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；
xaaaaax∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)
上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知f(x)＝x－6x＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论： ①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0； ③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0. 其中正确结论的序号是________．
解析：∵f′(x)＝3x－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
由f′(x)＜0，得1＜x＜3，由f′(x)＞0，得x＜1或x＞3，
2
3
2
33
∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又a＜b＜c，f(a)＝f(b)＝f(c)∴f(x)极大值＝f(1)＝4－abc＞0，
＝0，
f(x)极小值＝f(3)＝－abc＜0.
∴0＜abc＜4.
∴a，b，c均大于零，或者a＜0，b＜0，c＞0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．
∴f(0)＜0.∴f(0)f(1)＜0，f(0)f(3)＞0.∴正确结论的序号是②③. 答案：②③
2．已知函数f(x)＝mx＋nx的图象在点(－1,2)处的切线与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是________．
解析：因为f′(x)＝3mx＋2nx，由题意得
??f′?－1?＝3m－2n＝－3，?
?f?－1?＝－m＋n＝2，?
23
2
??m＝1，
解得?
?n＝3，?
所以f′(x)＝3x＋6x.
又f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以f′(x)＝3x＋6x≤0在区间[t，t＋1]上恒成立．
??f′?t?＝3t＋6t≤0，
即?2
?f′?t＋1?＝3?t＋1?＋6?t＋1?≤0，?
2
2
2
解得t∈[－2，－1]．
答案：[－2，－1]
3．(20162苏北四市调研)已知函数f(x)＝ax＋bx－ln x(a＞0，b∈R)． (1)设a＝1，b＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若对任意的x＞0，f(x)≥f(1)，试比较ln a与－2b的大小． 解：(1)由f(x)＝ax＋bx－ln x，x∈(0，＋∞)， 2ax＋bx－1得f′(x)＝. 2
2
2
x∵a＝1，b＝－1，
2x－x－1?2x＋1??x－1?∴f′(x)＝＝(x＞0)．
2
xx令f′(x)＝0，得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． ∴f(x)的单调递减区间是(0,1)，
f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．
34
(2)由题意可知，f(x)在x＝1处取得最小值， 即x＝1是f(x)的极值点， ∴f′(1)＝0，
∴2a＋b＝1，即b＝1－2a. 令g(x)＝2－4x＋ln x(x＞0)， 1－4x则g′(x)＝.
x1令g′(x)＝0，得x＝.
4
1
当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
41
当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
41?1?∴g(x)≤g??＝1＋ln ＝1－ln 4＜0， 4?4?∴g(a)＜0，即2－4a＋ln a＝2b＋ln a＜0， 故ln a＜－2b.
第三课时 导数与函数的综合问题
考点一 利用导数研究生活中的优化问题?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]
(20162常州模拟)如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30°方向的两条街道．某公园P位于商业中心北偏东θ角
?0<θ<π，tan θ＝33?，
现??且与商业中心O的距离为21 km处．
2??
要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处．
(1)当AB沿正北方向时，试求商业中心到A，B两处的距离和；
(2)若要使商业中心O到A，B两处的距离和最短，请确定A，B的最佳位置． 解：(1)以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设P(m，n)．
π
因为0<θ<，tan θ＝33，
2所以cos θ＝
7321，sin θ＝， 1414
35
93
则m＝OP2sin θ＝，n＝OP2cos θ＝，
22由题意得AB⊥OA， 9
则OA＝，OB＝2OA＝9，
2
所以商业中心到A，B两处的距离和为13.5 km.
(2)法一：(几何法)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y－令y＝0，得xA＝－
9＋. 2k23
3?9?＝k?x－?.① 2?2?
由题意，直线OB的方程为y＝3x.② 联立①②，解得xB＝
9k－3
，所以OB＝2xB＝，
2?k－3?k－39k－3
所以y＝OA＋OB＝－
399k－3＋＋. 2k2k－3
由xA>0，xB>0，得k>3或k<0.
y′＝3－3?3k＋3??5k－3?＋. 2＝222
?k－3?2k2k?k－3?－83
3
. 3
令y′＝0，得k＝－当k<－是增函数．
所以当k＝－333?3???时，y′<0，y在?－∞，－?是减函数；当－
3
时，y有极小值，且极小值为9 km； 3
当k>3时，y′<0，y是减函数，结合(1)知y>13.5 km.
综上所述，商业中心到A，B两处的距离和最短为9 km，此时OA＝6 km，OB＝3 km. 故A离商业中心6 km，B离商业中心3 km为最佳位置．
法二：(三角法)如图，过点P作PM∥OA交OB于点M，PN∥OB交OA于点N.
设∠BAO＝α.
在△OPN中，＝＝，
sin?90°－θ?sin?θ－30°?sin 120°
PNONOP 36