132
3．若函数f(x)＝ax－ax＋(2a－3)x＋1在R上存在极值，则实数a的取值范围是
3________．
解析：由题意知，f′(x)＝ax－2ax＋2a－3，
132
因为函数f(x)＝ax－ax＋(2a－3)x＋1在R上存在极值，
3所以f′(x)＝0有两个不等实根， 其判别式Δ＝4a－4a(2a－3)＞0， 所以0＜a＜3，
故实数a的取值范围为(0,3)． 答案：(0,3)
角度三：由图判断极值
4．已知函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有________个极大值点，________个极小值点．
2
2
解析：由导数与函数极值的关系，知当f′(x0)＝0时，若在x0的左侧f′(x)>0，右侧
f′(x)<0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x)
在x＝x0处取得极小值．设函数f′(x)的图象与x轴的交点从左到右的横坐标依次为x1，x2，
x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．
答案：2 2
[方法归纳]
利用导数研究函数极值的一般流程
考点二 运用导数解决函数的最值问题?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]
已知函数f(x)＝－e(a＞0)．
xax 25
(1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在[1,2]上的最大值．
xx1x解：(1)f(x)＝－e(a＞0)，则f′(x)＝－e.
aa1x1令－e＝0，则x＝ln .
aa当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) ?－∞，ln1 ? ?a???＋ 1ln a?ln 1，＋∞? ?a???－ 0 极大值 1???1?故函数f(x)的单调递增区间为?－∞，ln?；单调递减区间为?ln，＋∞?.
?a??a?
11
(2)当ln≥2，即0＜a≤2时，
ae
f(x)max＝f(2)＝－e2；
a111
当1＜ln ＜2，即2＜a＜时，
aee
2
f(x)max＝f?ln?＝ln－； ?a?aaa11
当ln≤1，即a≥时，
ae
?1?111
f(x)max＝f(1)＝－e.
a
[由题悟法]
求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值3步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
[即时应用]
12
设函数f(x)＝aln x－bx(x＞0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
2(1)求实数a，b的值；
1
26
?1?(2)求函数f(x)在?，e?上的最大值． ?e?
解：(1)f′(x)＝－2bx，
1
∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
2
axf′?1?＝a－2b＝0，??∴?1
f?1?＝－b＝－，?2?
a＝1，??
解得?1
b＝.??2
12
(2)由(1)得f(x)＝ln x－x，
211－x则f′(x)＝－x＝，
2
xx11
∵当≤x≤e时，令f′(x)＞0得≤x＜1；
ee令f′(x)＜0，得1＜x≤e，
?1?∴f(x)在?，1?上单调递增，在[1，e]上单调递减，
?e?
1
∴f(x)max＝f(1)＝－. 2
考点三 函数极值和最值的综合问题?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]
2
已知函数f(x)＝ax－－3ln x，其中a为常数．
x?2?2???3?(1)当函数f(x)的图象在点?，f???处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在?，3?上
?2??3?3??
的最小值；
(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围． 23
解：(1)∵f′(x)＝a＋2－，
xx?2?∴f′??＝a＝1， ?3?
2?x－1??x－2?
故f(x)＝x－－3ln x，则f′(x)＝. 2
xx由f′(x)＝0得x＝1或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
27
x f′(x) f(x)
3 2?3，2? ?2???－ 2 0 1－3ln 2 (2,3) ＋ 3 ?3?从而在?，3?上，f(x)有最小值，
?2?
且最小值为f(2)＝1－3ln 2.
3ax－3x＋2
(2)f′(x)＝a＋2－＝(x＞0)， 2
2
2
xxx由题设可得方程ax－3x＋2＝0有两个不等的正实根， 不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)＝ax－3x＋2，
2
2
?3?x＋x＝＞0，
a则?2xx＝??a＞0
1
2
12
Δ＝9－8a＞0，
2
Δ＝9－8a＞0，
???－3
?或?－2a＞0，
?h?0?＞0??
?9
，解得0＜a＜. ?8?
?9?故所求a的取值范围为?0，?. ?8?
[由题悟法]
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
[即时应用]
已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，2
若x＝时，y＝f(x)有极值．
3
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 解：(1)由f(x)＝x＋ax＋bx＋c， 得f′(x)＝3x＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①
28
2
3
2
3