《复数代数形式的乘除运算》

案例分析

尉氏县第三高级中学

姚翠玲

一、案例背景

1、教材分析

本节课是《复数代数形式的四则运算》的第二课时，是四则运算的重点，也是本章的重点．复数的乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立．由除法是乘法的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则．

教材在内容编排上使用问题探究式的方法，引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知．学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性． 2、学情分析

高二的学生 3、教学目标设计：

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解

它是乘法运算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无

味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。教材内容及重点、难点分析

教学重点：复数代数形式的除法运算。 教学难点：对复数除法法则的运用。

教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数

相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

4、教学思路①本节课的教学以建构主义学习理论为指导，以学生为中心，以问

题为出发点，使课堂教学过程成为学生自主地进行信息加工、知识意义构建、创新能力发展的。教师在教学过程中则适时介入，引导、启发、组织、帮助、促进。②设计创造性思维问题。所谓创造性思维问题即是指利于学生创造性思维发展的问题。创造性思维问题的设计应遵循这样几个原则：题型具有开放性、解题富有挑战性。

5、教学手段①互动法：老师提出问题，由学生回答，并从知识中获得启迪，从

而解决问题。②任务驱动教学法：将所要学习的新知识隐含在一个或向个问题之中，学生通过对所提的任务进行分析、讨论，并在老师的指导、帮助下找出解决问题的方法，最后通过任务的完成而实现对所学知识的意义建构。

二、案例描述 1、新课导入

提出问题：试计算5(2＋i)．

活动设计：先由学生独立思考，然后交流看法． 学情预测：学生可能类比单项式与多项式的乘法来计算． 活动成果：(板书)

5(2＋i)＝(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＝10＋5i. 2、讲解新课

设计意图⑴

通过比较分别运用实数集中乘法的意义和复数的加法法则计算所得的结果，得到结论：m(a＋bi)＝ma＋mbi，其中m，a，b∈R.引出新课．两个复数相乘又

该如何计算？

探究新知

提出问题：如何计算(2＋i)(3＋2i)?

活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．

学情预测：学生可能类比两个多项式的乘法来计算．

活动成果：(板书)

(1)规定，复数的乘法法则：

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积： (a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)(2＋i)(3＋2i)＝6＋3i＋4i＋2i2＝4＋7i. 设计意图⑵

遇到问题就得解决问题，但是复数又是一个全新的知识，它是实数集的扩充，所以在不违背原有知识的基础上规定了复数的乘法法则，使学生体会知识的创新与发展的过程．

理解新知

提出问题1：怎样理解复数的乘法法则？它可能满足哪些运算律？ 活动设计：学生独立思考，然后同学间交流．

学情预测：学生可以独立理解复数的乘法法则，并写出它满足的运算律． 活动成果：

(1)可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

两个复数的积是一个确定的复数．

(2)实数集上的乘法满足的运算律，可以直接推广到复数集上的乘法运算中： 对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1， (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)， z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. 设计意图⑶

准确地把握法则及其满足的运算律，为正确熟练地运用打下良好的基础． 提出问题2：计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测in(n∈N*)的值有什么规律吗？ 活动设计：学生独立思考，然后同学间交流结果，教师巡视指导． 学情预测：学生能够计算出四个值，并说出周期性．

活动成果：i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1(n∈N*)．

设计意图⑷

了解i的幂的周期性，培养学生的观察和归纳能力．

运用新知

例1计算：

(1)(1－i)2；(2)(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．

思路分析：第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．

解：(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2＝－2i； 解法二：(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.

(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i2)(1＋2i) ＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；

解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i. 点评：此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中(－2i)·4i＝8，而不是－8.

探究新知

提出问题1：在例1中1－2i与1＋2i的积恰好是一个实数，观察这两个复数之间有何联系？

活动设计：学生独立思考，然后交流．

学情预测：在教师的引导下，学生能够得出两个复数的异同．

活动成果：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部为0的两个共轭复数也叫共轭虚数．

注意：z的共轭复数常用z表示．即：若z＝a＋bi，则z＝a－bi. 设计意图⑸

例1(2)为引出共轭复数的概念提供了实例支持，从而得出共轭复数的定义，使学生对知识的接受变得自然．

提出问题2：类比实数的除法，联系复数减法法则的引入过程，探求复数除法的法则．

活动设计：引导学生运用乘法法则以及复数相等的概念来得到除法法则． 活动成果：(1)规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c＋di)(x＋yi)＝a

＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi，叫做复数a＋bi除以c＋di的商．

(2)经计算可得(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi. 根据复数相等的定义，有cx－dy＝a，dx＋cy＝b. ac＋bdbc－ad

由此得x＝2，y＝. c＋d2c2＋d2于是得到复数除法的法则是：(a＋bi)÷(c＋di)＝

ac＋bdbc－ad

＋i. c2＋d2c2＋d2由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．

理解新知

提出问题1：若z1，z2是共轭复数，那么

(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？ (2)z1·z2是一个怎样的数？

(3)若z1是实数，则它的共轭复数是怎样的数？

活动设计：学生独立探究，然后再小组交流．教师巡视指导．

学情预测：学生通过独立思考，然后与同学交流看法，最后能够得出正确的结论．

活动成果：(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称； (2)z1·z2＝|z1|2＝|z2|2；(即z·z＝|z|2＝|z|2)

(3)z1的共轭复数仍是z1，即实数的共轭复数是它本身． 设计意图⑹

使学生加深对共轭复数概念的了解．

提出问题2：在实际进行复数运算时，每次都按照乘法逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的．如何简化求商的过程？这种简化的求商过程与实数系中作何种运算的过程相类似？

活动设计：起初学生会无从下手，可以提示他们观察商的实部和虚部的分母与除数的关系，从而得解．

学情预测：学生在教师的指导下，基本上能发现规律．

活动结果：(1)在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成

a＋bi

的c＋di

形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c－di，化简整理后即可．

(2)这种求商过程与作根式除法时的处理是很类似的．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”．这里分子和分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”．

设计意图⑺

简化求解过程，有利于熟练运用法则．

运用新知

例2计算(1＋2i)÷(3－4i)．

1＋2i思路分析：先把(1＋2i)÷(3－4i)写成的形式，然后分子、分母都乘以3

3－4i＋4i，计算整理即可．

解：(1＋2i)÷(3－4i)＝

1＋2i?1＋2i??3＋4i?

＝ 3－4i?3－4i??3＋4i?

3－8＋6i＋4i－5＋10i12＝＝25＝－5＋5i. 223＋4

点评：例2是复数除法的计算题，目的是让学生熟练操作上述作除法的简便过程．

巩固练习

7＋i?－1＋i??2＋i?

计算：(1)；(2)(3＋2i)(－3＋2i)；(3).

3＋4i－i7＋i?7＋i??3－4i?25－25i

解：(1)＝＝＝1－i；

253＋4i?3＋4i??3－4i?

(2)(3＋2i)(－3＋2i)＝(2i)2－(3)2＝2i2－3＝－2－3＝－5； ?－1＋i??2＋i?－2－i＋2i＋i2－3＋i?－3＋i?i

(3)＝＝＝＝－1－3i.

－i－i－i－i·i变练演编

1．已知：________÷________＝1＋2i，则横线上可以填的条件是什么？(可

以多写几种)

2．计算：

3＋4i

；并自己编制一道类似的题目． 4－3i

答案：1.11＋2i，3－4i或5,1－2i等等．(先写出被除数或除数中的一个，然后求另一个)

2．解法一：

3＋4i?3＋4i??4＋3i?25i

＝＝＝i； 4－3i?4－3i??4＋3i?25

3＋4i?3＋4i?i?3＋4i?i

解法二：＝＝＝i.

4－3i?4－3i?i3＋4i

5＋3i－5i＋6

编制的题目：，(编制的原则设分子是z1＝a＋bi，则分母为z2

3－5i－6i－5＝b－ai，即分母与i的乘积就是分子，可直接约分，从而达到分母实数化)．

设计意图⑻

第一个题目的设计不仅是为了训练学生灵活处理问题，熟练运用知识的能力，而且可以培养学生发散思维与集中思维的能力，还可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖性、开放性更是不言而喻．第二个题的目的是使学生更深刻理解复数的除法就是分母的实数化． 3、拓展延伸

1．复数a＋bi与c＋di的积是实数的充要条件是( ) A．ad＋bc＝0 B．ac＋bd＝0 C．ac＝bd D．ad＝bc 2．已知(1＋2i)z＝4＋3i，求z. 3．计算

－23＋i22 010

＋(). 1－i1＋23i

解析：1.若(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i是实数，则只需虚部ad＋bc＝0.故答案为A.

2．由已知可得z＝

4＋3i?4＋3i??1－2i?10－5i

＝＝5＝2－i，所以z＝2＋i. 1＋2i?1＋2i??1－2i?

3.

－23＋i22 010i?1＋23i?221 00521 005

＋()＝＋[()]＝i＋() 1－i1－i－2i1＋23i1＋23i

＝i＋i1 005＝i＋i4×251＋1＝i＋i＝2i. 4、高考连线

复数在高考中占有很重要的地位。高考中多以选择题形式出现，属易得分题型，要求学生必须掌握。 5、课堂小结

对给定的三个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，你能研究些什么？用什么样的方法来研究？(数系的扩充，当复数的虚部为0时，复数也就是特殊的实数；复数的分类；复数相等的概念；复数的几何意义；复数的模；复数的运算；复数的运算律；任一个复数的共轭复数及性质等本章所学的所有知识．用类比、转化、数形结合、化虚为实等思想方法来研究．) 6、布置作业

习题3.2 A组4、5题． 7、补充练习

基础练习

⑴复数(15＋8i)(－1－2i)的值为________．

⑵已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则实数t等于( ) 3443

A.4 B.3 C．－3 D．－4 m－2i

⑶复数z＝在复平面上对应的点不可能位于( )

1＋2iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

z1⑷若z1＝a＋2i，z2＝3－4i且z为纯虚数，则实数a的值为__________．

2

111

⑸已知z1＝5＋10i，z2＝3－4i，z＝z＋z，求z.

1

2

85

答案：1.1－38i 2.A 3.A 4.3 5.5－2i. 拓展练习

⑹已知2i－3是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．

思路分析：2i－3是方程的根，代入方程后根据复数相等的定义，化虚为实，即可求得．

解：由已知得：2(2i－3)2＋p(2i－3)＋q＝0，

?10－3p＋q＝0，

从而(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.于是，有?解得p＝12，q

?2p－24＝0，＝26.

点评：解决复数问题的关键就是转化为实数问题来处理，复数相等就是实现这一转化的很好的工具．

三、案例反思

本节课是本章的重点内容，同时复数乘、除法的法则的理解更是难点．故在本节课的设计上多次采取类比的方法，使知识在不失其本质的情况下，更易于理解．同时这种处理方法可以使新知识与所学知识建立联系性，有利于知识的网络化和系统化．

在整个设计上突出了问题驱动式的教学方法，以问题为主线，以学生为主体，随着问题的提出与解决，教学内容也被随之很好地学习与理解．

在例题和习题的设计环节上，力求突出本节课的重点：熟练掌握复数的乘除法运算以及数学思维方式与技能形成的培养．例题的选题目的有三：一是巩固所学法则及运算律；二是通过一题多解培养学生的发散思维能力；三是培养计算能力，以形成技能．变练演编的第1题考查学生灵活运用知识、发散思维及逆向思维的能力；第2题则是使学生更加深刻地体会复数除法的实质就是“分母实数化”，培养学生问题理解的深刻性、全面性．为了进一步巩固所学，又设计了巩固练习、达标检测和补充练习等环节．在补充练习中为学有余力的同学安排了拓展练习，增加思维量的同时也开阔了视野．

我们知道，对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，如果b2－4ac<0，那么它在实数集R内没有实根．现在把实数集R扩充为复数集C，再来考察这一问bc题．经过变形，原方程可以化为x＋ax＝－a，

2

2

bb2b2cb2b－4acb2

∴x＋2·x·＋()＝()－，(x＋)＝，(x＋

2a2a2aa2a2a)＝－?2a?22

－?b2－4ac?[]．

?2a?22－?b2－4ac?ib±－?b－4ac?·由于是正实数，我们可以得到x＋＝. 2a2a?2a?2所以当b2－4ac<0时，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在复数集C内有－b±－?b2－4ac?·i2

且只有两个根x＝?b－4ac<0?.

2a

显然，它们是一对共轭复数．

复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.

复数的除法法则是：

a?biac?bdbc?ad?2?2i(c+di≠0). 22c?dic?dc?d两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简

本节课是新课标，我将本节课设计为竞赛、导入、个人探究、互动交流、协作探究和讨论及完成练习。我充分发挥学生的主观能动性，使本课节的内容更加充实，容量更多。既贯通了所要学的知识，又拓展了课外知识，使得本节课学生在学习过程中兴趣更加浓厚，积极主动探究问题。