空间向量复习

【知识回顾】

??1.a,b是两个非零向量，它们的夹角为?，则数|a|?|b|?cos?叫做a与b的数量积（或内积），

记作a?b，即a?b?|a|?|b|?cos?. 其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：

若a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2)，则

??①a?b?x1x2?y1y2?z1z2；

②|a|?x1?y1?z1,|b|?x2?y2?z2；

??③a?b?x1x2?y1y2?z1z2

222222④cos?a,b??x1x2?y1y2?z1z2x1?y1?z1?x2?y2?z2222222

2. 异面直线m,n所成的角

????分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所成的角?等于向量a,b所成的角或其补角

??|a?b|（如图1所示），则cos????.

|a|?|b|3. 异面直线m、n的距离

????分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的

CaAnm

nD图1

bB向量n，分别在m、n上各取一个定点A、B，则异面直线m、n的距离d等于AB在n上的射影长，即d?|AB?n||n|.

4. 直线L与平面?所成的角

在L上取定AB，求平面?的法向量n（如图2所示），再求cos??所求的角.

|AB?n||AB|?|n|，则???2??为

1.5． 二面角

方法一：构造二面角??l??的两个半平面?、?的法向量n1、n2l?n1n2?（都取向上的方向，如图3所示），则 ①

若二面角??l??是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，即cos???学广东卷第18题第（1）问）.

② 若二面角??l??是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角，即cos??

n1?n2|n1|?|n2|.

n2图3甲

n1?n2|n1|?|n2|.（例如2004年高考数

n1?l 图3乙 ?③ 方法二：在二面角的棱l上确定两个点A、B，过A、B分别在平面?、?内求出与l垂直的向量n1、，则二面角??l??的大小等于向量n2（如图4所示）

?n2n1、n2的夹角，即 cos??n1?n2|n1|?|n2|.

BlAn1图4

?6. 平面外一点p到平面?的距离

先求出平面?的法向量n，在平面内任取一定点A，则点p到平面

pn?的距离d等于AP在n上的射影长，即d?

|AP?n||n|.

A图5 ?

【经典例题】

例题1.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，异面直线AC与AB1所成角为（ ） A.45? B.30? C.60? D.90?

变式练习：在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2AA1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值（ ）

2

A.105151 B. C. D. 5555例题2.已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，点P为棱长AA1上任意一点，则四棱锥

P?BDD1B1的体积为________

变式练习：在四面体ABCD中，DA?平面ABC，AB?AC,AB?4,AC?3,AD?1,E为棱长BC上一点，且平面ADE?平面BCD，则DE?____

例题3.如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。 （1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。

ABA1PD1C1B1DC

变式练习：如图,已知P为矩形ABCD所在平面外一点,PA?平面ABCD,E、F分别是A B．PC的

中点.

(Ⅰ)求证:EF∥平面PAD; (Ⅱ)求证:EF?CD;

(Ⅲ)若,∠PDA=45°,求EF与平面ABCD所成角的大小.

例题4.如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD四边长为1的 菱形，?ABC?OA?底面ABCD, OA?2,M为OA的中点。

?4,

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

OMADC

B3

变式练习：如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,M、N分别是A B．PC的中点. (1)求二面角P-CD-B的大小; (2)求证:平面MND⊥平面PCD; (3)求点P到平面MND的距离. 例题 例题 A M

C N

D

P

例题5.在直平行六面体AC1中,ABCD是菱形,?DAB?60?,ACIBD?O,AB?AA1.

(1)求证:C1O//平面AB1D1;

D1C1B1(2)求证:平面AB1D1?平面ACC1A1; (3)求直线AC与平面AB1D1所成角的大小.

A1DAOBC

变式练习：如图,直三棱柱ABC—A1B1C1的底面积是等腰直角三角

形,∠A1B1C1=90°,A1C1=1,AA1=2,N、M分别是线段B1 B．AC1的中点? (I)证明:MN//平面ABC;

(II)求A1到平面AB1C1的距离

(III)求二面角A1—AB1—C1的大小?

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