参数取值
（Ⅰ）参数取值问题的探讨 一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围 为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1．已知当x?R时，不等式a+cos2x<5?4sinx+5a?4恒成立，求实数a的取值范 围。
分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x?R），另一变量a的范 围即为所求，故可考虑将a及x分离。 解：原不等式即：4sinx+cos2x<5a?4?a+5
要使上式恒成立，只需5a?4?a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转 化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=?2sin2x+4sinx+1=?2(sinx?1)2+3?3, ∴5a?4?a+5>3即5a?4>a+2
?a?2?04??5a?4?0上式等价于或?，解得5a<8.
说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1?2sin2x,故若把sinx换元成t,则
可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。 另解：a+cos2x<5?4sinx+5a?4即
a+1?2sin2x<5?4sinx+5a?4,令sinx=t,则t?[?1,1], 整理得2t2?4t+4?a+5a?4>0,( t?[?1,1])恒成立。 设f(t)= 2t2?4t+4?a+5a?4则二次函数的对称轴为t=1,
?a?2?0??5a?4?0?5a?4?(a?2)2?? f(x)在[?1，1]内单调递减。 ? 只需f(1)>0,即5a?4>a?2.(下同)
例2．已知函数f(x)在定义域（??，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式 f(k?sinx)?f(k2?sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。
分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k?sinx≤k2?sin2x≤1对于任意x∈R恒成 立，这又等价于
?k2?1?sin2x????(1)??2112k?k??(sinx?)???(2)?42?对于任意x∈R恒成立。
不等式（1）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即?1≤k≤1----------(3)
119不等式（2）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2?k+4≥[(sinx?2)2]max=4,
即k≤?1或k≥2,-----------(4) 由（3）、（4）求交集，得k=?1,故存在k=?1适合题设条件。
说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。
x2y2AP??14例3．设直线l过点P（0，3），和椭圆9顺次交于A、B两点，试求PB的
取值范围.
AP?xAxB，但从此后却一筹莫展, 问题的
分析：本题中，绝大多数同学不难得到：PB=
根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构 造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思 想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
AP?xAxB已经是一个关系式，但由于有两个变量
思路1: 从第一条想法入手，PB=
xA,xB，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB
的斜率k. 问题就转化为如何将xA,xB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程 代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，
消去y得到关于x的一元二次方程
求根公式 xA= f（k），xB = g（k）
AP/PB = —（xA / xB）
得到所求量关于k的函数关系式 由判别式得出k的取值范围
所求量的取值范围
AP1??5； 解1：当直线l垂直于x轴时，可求得PB当l与x轴不垂直时，设A?x1,y1?,B(x2，y2)，直线l的方程为：y?kx?3，代入椭 圆方程，消去y得9k?4x?54kx?45?0，
?2?2解之得
x1,2?27k?69k2?5?.9k2?4
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k?0的情形.
?27k?69k2?5?27k?69k2?5x1?x2?2k?09k2?49k?4当时，，， 18kx?9k?29k?5AP1???122PBx9k?29k?59k?29k?5=2所以 ==
22??(?54k)?1809k?4?0, 解得 由
21?189?29?5k2.
??k2?59，
?1?1?所以
189?29?5k2??15，
?1?综上
AP1??PB5.
思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根 源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，
xAP??1PBx2不是关于x1,x2的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就
原因在于
有了，即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式.
把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 韦达定理 xA+ xB = f（k），xA xB = gAP/PB = —（xA / 构造所求量与k的关系式
解2：设直线l的方程为：y?kx?3，代入椭圆方程，消去y得
?9k2?4x2?54kx?45?0 （*）
?54k?x?x?,122??9k?4?2x11324k?xx?45.?????2?.1222?x9k?4??45k?20 令2，则，
k2?59，
?则
在（*）中，由判别式??0,可得
136324k2364????2?4???5， 45k2?205，所以从而有
11???5???10???1解得5.结合得5.
?1?综上，
AP1??PB5.
说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，
函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
二、直接根据图像判断
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。 例4．已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则tan?的取值范围是 (
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