专项强化练(十一) 直线与圆
A组——题型分类练
题型一 直线的方程
1．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值为________． 解析：由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2. 当y＝0时，x＝所以a＋2
. aa＋2
＝a＋2，解得a＝－2或a＝1. a答案：－2或1
2．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________________．
1
解析：将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，
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所得直线的方程为y＝－(x－1)，即x＋3y－1＝0.
3
答案：x＋3y－1＝0
3．若直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a＝________.
解析：直线y＝2x＋10与y＝x＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y＝ax－2，得－8＝
a·(－9)－2，解得a＝.
2答案： 3
4．点A(1,1)到直线xcos θ＋ysin θ－2＝0的距离的最大值为________． 解析：由点到直线的距离公式，得
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d＝|cos θ＋sin θ－2|?θ＋π?，
＝2－2sin??22
4??cosθ＋sinθ又θ∈R，所以dmax＝2＋2. 答案：2＋2 [临门一脚]
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法：根据条件，选择适当的直线方程形式，直接写出方程． (2)待定系数法：先设出方程，再根据条件求出待定系数．
2．五种直线方程灵活选择，要牢记用斜率首先考虑斜率不存在；用截距要考虑截距为0或不存在的情况，不能出现漏解的情况．
题型二 圆的方程
1．已知方程x＋y＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是________________．
解析：由(2k)＋4－4(3k＋8)＝4(k－3k－4)>0，解得k<－1或k>4. 答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)
2．圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________________． 解析：设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|， 所以圆的方程为x＋(y－b)＝b. 因为点(3,1)在圆上，
所以9＋(1－b)＝b，解得b＝5. 所以圆的方程为x＋(y－5)＝25. 答案：x＋(y－5)＝25
3．已知圆x＋y＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．
解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，故b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)＋(y－2)＝5－a，所以a<5，由此，得a－b<1.
答案：(－∞，1)
4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)＋(y－8)＝1，圆C2：(x－6)＋(y＋6)＝9.若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是____________．
解析：法一：设圆C的半径为r，圆心坐标为C(a,0)． 因为圆C平分圆C1的圆周， 所以r＝CC1＋1. 同理可得r＝CC2＋9， 所以 CC1＝CC2＋8，
即(a－4)＋8＝(a－6)＋6＋8，解得a＝0， 从而得r＝CC1＋1＝4＋8＋1＝81， 故圆C的方程为x＋y＝81.
法二：设圆C的方程为：(x－a)＋y＝r. 则圆C与C1的公共弦方程为 (2a－8)x－16y＋79＋r－a＝0.(*) 因为圆C平分圆C1的圆周， 所以直线(*)经过圆C1的圆心， 即a－8a－r＋81＝0.①
同理，由圆C平分圆C2的圆周，得
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a2－12a－r2＋81＝0，②
联立①②得a＝0，r＝81. 故圆C的方程为x＋y＝81. 答案：x＋y＝81 [临门一脚]
1．三个独立条件确定一个圆，一般用待定系数法，如果已知圆心或半径可用标准式；如果已知圆经过某些点常用一般式．并要注重圆的一般方程与标准方程的互化．
2．不能忘记求圆的方程时，圆的一般式方程要满足的条件D＋E－4F>0.
3．如果遇到求解与三角形有关的圆的方程，应该研究三角形特征如等边三角形或直角三角形的外接圆和内切圆，更容易用标准式求解．
题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．(2019·盐城中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P在直线l：y＝kx＋6(k>0)上，过点P作圆O：x＋y＝4的切线，切点分别是A，B，且AB的中点为Q，若OQ＝1，则k的取值范围为________．
解析：连接OP，OA，由已知及圆的几何性质知，OP经过点Q，且OA⊥AP，AQ⊥OP，所以Rt△OPA∽Rt△OAQ，所以点O到直线l的距离d＝
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OAOQ2
＝，即OA＝OP·OQ，又OA＝2，OQ＝1，所以OP＝4，所以OPOA5?5?
≤4.因为k>0，所以k≥，故k的取值范围为?，＋∞?. 2
2?2?k＋16
答案：?
?5?
，＋∞? ?2?
2
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2．(2018·镇江高三期末)已知圆C与圆x＋y＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为________________．
解析：由题意可知，圆C的圆心在直线y＝x上，设圆C的圆心为(a，a)，半径为r，则r＝a＋a＝a＋(a＋6)，解得a＝－3，所以圆心为(－3，－3)，r＝18，圆C的标准方程为(x＋3)＋(y＋3)＝18.
答案：(x＋3)＋(y＋3)＝18
3．过点P(－4,0)的直线l与圆C：(x－1)＋y＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为________________．
解析：根据题意，由于(－4－1)>5，所以点P在圆C外，过圆心C作CM⊥AB于M，连结AC.易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，则CM＝|k＋4k||5k|＝，AM＝k2＋1k2＋1
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?|5k|?2
5－?2?＝?k＋1?
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5－20k.又点A恰好是线段PB的中点，所以k2＋1
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225k45－180k12
PM＝3AM，在Rt△PMC中，CM＋PM＝PC，即2＋2＝25，得180k＝20，即k＝±，k＋1k＋13
故直线l的方程为x±3y＋4＝0.
答案：x±3y＋4＝0
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x＋y＝2上一动点，则的最大值是________．
解析：法一：设点P(x，y)，则x＋y＝2，
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PBPAPB2x－12＋y＋1所以2＝
PAx2＋y＋22
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x2＋y2－2x＋2y＋2－2x＋2y＋4－x＋y＋2＝2＝＝，
x＋y2＋4y＋44y＋62y＋3
－x＋y＋2令λ＝，则x＋(2λ－1)y＋3λ－2＝0，
2y＋3
由题意，直线x＋(2λ－1)y＋3λ－2＝0与圆x＋y＝2有公共点，所以|3λ－2|1＋
2λ－1
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≤2，解得0<λ≤4，
所以的最大值为2.
法二：当AP不与圆相切时，设AP与圆的另一个交点为D，由条件AB与圆C相切，则∠ABP＝∠ADB，
所以△ABP∽△ADB，所以＝所以的最大值为2. 答案：2 [临门一脚]
1．直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判定较好． 2．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算弦长时，要注意应用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形．
3．根据相交、相切的位置关系求直线方程时，要注意先定性再定量，不能漏解． 4．圆上存在一点的存在性问题可以通过求解动点轨迹转化为位置关系问题．
B组——高考提速练
1．“a＝1”是“直线ax－y＋2a＝0与直线(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直”的____________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
解析：∵两直线互相垂直， ∴a·(2a－1)＋(－1)·a＝0， 即2a－2a＝0，
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PBPAPBBDBD22
＝≤＝2， PABA22
PBPA