将a7=2代入an+1=1-a,可求得a6=-1;
n
11
将a6=-1代入an+1=
1
,可求得a5=2. 1-an
1
由此可知数列{an}是一个周期数列,且周期为3,所以a1=a7=2.
28.(2014·北京·理T12)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{an}的前n项和最大. 【答案】8
由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0;而a7+a10=a8+a9<0,故a9<0.所以数列{an}的前8项和最大. 29.(2014·天津·理T11)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为 . 【答案】- 由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+2×(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,所以(2a1-1)=a1(4a1-6),整理得2a1+1=0,解得a1=-. 30.(2013·全国2·理T16)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 . 【答案】-49
设数列{an}的首项为a1,公差为d,则S10=10a1+S15=15a1+2d=15a1+105d=25. ② 联立①②,得a1=-3,d=,所以Sn=-3n+
1
3
124×3
2
1210×9
d=10a1+45d=0, ① 215×14
23n(n-1)2
×232
=n-n. 1
32
103令f(n)=nSn,则f(n)=3n-3n,f'(n)=n-3n. 令f'(n)=0,得n=0或n=3.
当n>时,f'(n)>0,0 31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x-5x+4=0的两个根,则S6= . 【答案】63 因为x-5x+4=0的两根为1和4, 又数列{an}是递增数列, 所以a1=1,a3=4,所以q=2. 13 2 2 10 2 20 20 203203203所以 1×(1-26)S6==63. 1-2 231332.(2013·全国1·理T14)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an= . 【答案】(-2) ∵Sn=3an+3, ① ∴当n≥2时,Sn-1=3an-1+3. ② ①-②,得an=3an-3an-1,即a23132 2 an n-1 n-1 21 21 =-2. n-1 ∵a1=S1=a1+,∴a1=1.∴数列{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,an=(-2). 33.(2012·全国·文T14)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q= . 【答案】-2 由S3=-3S2,可得a1+a2+a3=-3(a1+a2), 即a1(1+q+q)=-3a1(1+q), 化简整理得q+4q+4=0,解得q=-2. 三、计算题 1.(2019·全国2·文T18)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=log2an.求数列{bn}的前n项和. (1)设{an}的公比为q,由题设得2q=4q+16,即q-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{an}的通项公式为an=2×4=2 n-1 2n-12 2 22 . 2 (2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n. 2.(2019·全国2·理T19)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列; (2)求{an}和{bn}的通项公式. (1)证明由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn). 又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为2的等比数列. 由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2. 又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解由(1)知,an+bn= 12??-11 12 ,an-bn=2n-1. 14 所以an=2[(an+bn)+(an-bn)]=??+n-2, bn=[(an+bn)-(an-bn)]=??-n+. 3.(2019·天津·文T18)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足cn={ 1,??为奇数, 21 12121 1212求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N). ????,??为偶数, * (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.依题意, 3??=3+2??,??=3,得{2解得{ ??=3,3??=15+4??.故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3=3. 所以,{an}的通项公式为an=3n,{bn}的通项公式为bn=3. (2)a1c1+a2c2+…+a2nc2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nbn) ????1 =[n×3+(-)×6]+(6×31+12×32+18×33+…+6n×3n) 2n n-1 n =3n+6(1×3+2×3+…+n×3). 记Tn=1×3+2×3+…+n×3, 2 3 n+1 1 2 n 212n ① 则3Tn=1×3+2×3+…+n×3, ② ②-①得,2Tn=-3-3-3-…-3+n×3 2 2 3 n n+1 ??+1 3(1-3??)+3n+1(2??-1)3=-1-3+n×3=. 2所以,a1c1+a2c2+…+a2nc2n=3n+6Tn=3n 2 (2??-1)3??+1+3+3×2 = (2??-1)3??+2+6??2+9* (n∈N). 2 4.(2019·天津·理T19)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4. (1)求{an}和{bn}的通项公式; 1,2?? (2)设数列{cn}满足c1=1,cn={其中k∈N. ?? ????,??=2,①求数列{??2??(??2??-1)}的通项公式; ②求∑aici(n∈N). ??=12?? * 6??=6+2??,??=3, (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.依题意得{2解得{故 ??=2,6??=12+4??,an=4+(n-1)×3=3n+1,bn=6×2=3×2. 所以,{an}的通项公式为an=3n+1,{bn}的通项公式为bn=3×2. (2)①??2??(??2??-1)=??2??(bn-1) =(3×2+1)(3×2-1)=9×4-1. 15 n n n n n-1 n 所以,数列{??2??(??2??-1)}的通项公式为??2??(??2??-1)=9×4-1. ②∑aici=∑[ai+ai(ci-1)] ??=1 ??=1 2?? 2?? n =∑ai+∑??2??(??2??-1) ??=1 ??=1 2?? ?? =[2 n ?? 2??(2??-1)i ×4+×3]+∑(9×4-1) 2??=1 2n-1 =(3×2=27×2 +5×2 n-1 4(1-4??) )+9×1-4-n * 2n-1 +5×2-n-12(n∈N). n-1 5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3.数列{bn}满足:对每个n∈N,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记cn=√ ????** ,n∈N,证明:c1+c2+…+cn<2√n,n∈N. 2???? * (1)设数列{an}的公差为d,由题意得a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d, 解得a1=0,d=2. 从而an=2n-2,n∈N. 所以Sn=n-n,n∈N. 由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得(Sn+1+bn)=(Sn+bn)(Sn+2+bn). 2 解得bn=(????+1-SnSn+2). 2 2 ** 1 ??所以bn=n+n,n∈N. ?? (2)cn=√2??=√2??(??+1)=√??(??+1),n∈N. * 2* ??2??-2??-1 ?? 我们用数学归纳法证明. ①当n=1时,c1=0<2,不等式成立; ②假设n=k(k∈N)时不等式成立,即c1+c2+…+ck<2√??. 那么,当n=k+1时,c1+c2+…+ck+ck+1<2√??+√√??)=2√??+1, 即当n=k+1时不等式也成立. 根据①和②,不等式c1+c2+…+cn<2√??对任意n∈N成立. 6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M- 数列”. (1)已知等比数列{an}(n∈N)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列{an}为“M- 数列”; 16 * * * ?? <2√??(??+1)(??+2) +√ 1 <2√????+1 +2√??+1+√??=2√??+2(√??+1?