得分 二．选择题（每小题3分，共计15分）

22x?y1．是解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的实部，则（ A ）；

（A）（C）

f?(z)?2(x?iy)； （B）f?(z)?2(x?iy)；

f?(z)?2(y?ix)； （D）f?(z)?2(y?ix).

，则z?2，如果函数f(z)?（ A ）

2．C是正向圆周

?Cf(z)dz?0．

.

sinz1（A） ； （B）

zz?13．如果级数

1； （C）

(z?3)21； （D）

(z?1)2?cn?1?nzn在z?2i点收敛，则级数在( C )

??2点条件收敛 ； （B）z??2i点绝对收敛；

（C）z?1?i点绝对收敛； （D）z?1?2i点一定发散．

（A）z４．下列结论正确的是( C )

（A）如果函数(B) 如果

f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点一定解析；

?Cf(z)dz?0,其中C复平面内正向封闭曲线, 则f(z)在C所围成的区域内一定解析；

（C）函数

f(z)在z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z?z0的幂级数，

而且展开式是唯一的；

（D）函数

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域

内均为调和函数．

5．下列结论不正确的是（ C ）． （A）

lnz是复平面上的多值函数； （B）cosz是无界函数；

zsinz 是复平面上的有界函数；（D）e是周期函数．

（C） 得分 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）

（1）求

a,b,c,d使f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)是解析函数，

f(z)解析，由C-R条件

解：因为

?u?v?u?v??? ?x?y?y?x2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,

a?2,d?2,，a??2c,2b??d,c??1,b??1,

给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．C?1dz．其中C是正向圆周z2z(z?1)f(z)??2；

解：本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数

1在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1，分别以z1,z2为圆心画互不2(z?1)z不

包

含

的

小

圆

相交互

c1,c2且位于c内

1?C(z?1)2zdz??C111(z?1)2zdz??dz

2C2(z?1)z11?2?i()??2?izz?1(z?1)213z?0

z?0zedz，其中C是正向圆周z?2； （3）．计算?C(1?z)解：设

f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z?2内，由留数定理

?z?2f(z)dz??2?iRes[f(z),?]?2?ic?1 -----（5分）

12z1?z??13zzeze111111????z2(1?????)(1?????)

23231(1?z)z2!z3!zzzz1?z111111??(z?z????)(1??2?3??)

22!3!z4!zzzz2811c?1??(1?1??)??

32!3!?

z?28f(z)dz??2?i

3（4）函数

(z2?1)(z?2)3f(z)?(sin?z)3在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，请指出它的级.

f(z)的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?，?

3z?k,k?0,?1,?2,?3,?为（sin?z）?0的三级零点，

z??1,为f(z)的二级极点，z??2是f(z)的可去奇点， z?0,2,?3,?4?，为f(z)的三级极点； ?为f(z)的非孤立奇点。

给出全部奇点给5分。其他酌情给分。 得分 四、（本题14分）将函数

f(z)?1在以下区域内展开成罗朗级数；

z2(z?1)（1）

0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??

（1）0?（2）0?z?1，（3）1?z?? z?1?1，

解：（1）当0?z?1?1

111f(z)?2?[]?

z(z?1)(z?1)(1?(z?1)??1nn?1??[]?[(z?1)]?n(z?1)而 ??(1?(z?1)n?0n?0f(z)??n(z?1)n?2 --------6分

n?0?（2）当0?z?1

?f(z)?11z2(z?1)=

z2?(?1)nzn

n?0???(?1)zn?2 -----10分

n?03）当1?z??

f(z)?11z2(z?1)?z3(1?1z)

??f(z)?1z3(?1)n???(?1)n1n?3 --------14n?0zn?0z

分

（