复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1] 下载本文

得分 二.选择题(每小题3分,共计15分)

22x?y1.是解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的实部,则( A );

(A)(C)

f?(z)?2(x?iy); (B)f?(z)?2(x?iy);

f?(z)?2(y?ix); (D)f?(z)?2(y?ix).

,则z?2,如果函数f(z)?( A )

2.C是正向圆周

?Cf(z)dz?0.

.

sinz1(A) ; (B)

zz?13.如果级数

1; (C)

(z?3)21; (D)

(z?1)2?cn?1?nzn在z?2i点收敛,则级数在( C )

??2点条件收敛 ; (B)z??2i点绝对收敛;

(C)z?1?i点绝对收敛; (D)z?1?2i点一定发散.

(A)z4.下列结论正确的是( C )

(A)如果函数(B) 如果

f(z)在z0点可导,则f(z)在z0点一定解析;

?Cf(z)dz?0,其中C复平面内正向封闭曲线, 则f(z)在C所围成的区域内一定解析;

(C)函数

f(z)在z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z?z0的幂级数,

而且展开式是唯一的;

(D)函数

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域

内均为调和函数.

5.下列结论不正确的是( C ). (A)

lnz是复平面上的多值函数; (B)cosz是无界函数;

zsinz 是复平面上的有界函数;(D)e是周期函数.

(C) 得分 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分)

(1)求

a,b,c,d使f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)是解析函数,

f(z)解析,由C-R条件

解:因为

?u?v?u?v??? ?x?y?y?x2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,

a?2,d?2,,a??2c,2b??d,c??1,b??1,

给出C-R条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

(2).C?1dz.其中C是正向圆周z2z(z?1)f(z)??2;

解:本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程 因为函数

1在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1,分别以z1,z2为圆心画互不2(z?1)z不

相交互

c1,c2且位于c内

1?C(z?1)2zdz??C111(z?1)2zdz??dz

2C2(z?1)z11?2?i()??2?izz?1(z?1)213z?0

z?0zedz,其中C是正向圆周z?2; (3).计算?C(1?z)解:设

f(z)在有限复平面内所有奇点均在:z?2内,由留数定理

?z?2f(z)dz??2?iRes[f(z),?]?2?ic?1 -----(5分)

12z1?z??13zzeze111111????z2(1?????)(1?????)

23231(1?z)z2!z3!zzzz1?z111111??(z?z????)(1??2?3??)

22!3!z4!zzzz2811c?1??(1?1??)??

32!3!?

z?28f(z)dz??2?i

3(4)函数

(z2?1)(z?2)3f(z)?(sin?z)3在扩充复平面上有什么类型的奇点,如果有极点,请指出它的级.

f(z)的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?,?

3z?k,k?0,?1,?2,?3,?为(sin?z)?0的三级零点,

z??1,为f(z)的二级极点,z??2是f(z)的可去奇点, z?0,2,?3,?4?,为f(z)的三级极点; ?为f(z)的非孤立奇点。

给出全部奇点给5分。其他酌情给分。 得分 四、(本题14分)将函数

f(z)?1在以下区域内展开成罗朗级数;

z2(z?1)(1)

0?z?1?1,(2)0?z?1,(3)1?z??

(1)0?(2)0?z?1,(3)1?z?? z?1?1,

解:(1)当0?z?1?1

111f(z)?2?[]?

z(z?1)(z?1)(1?(z?1)??1nn?1??[]?[(z?1)]?n(z?1)而 ??(1?(z?1)n?0n?0f(z)??n(z?1)n?2 --------6分

n?0?(2)当0?z?1

?f(z)?11z2(z?1)=

z2?(?1)nzn

n?0???(?1)zn?2 -----10分

n?03)当1?z??

f(z)?11z2(z?1)?z3(1?1z)

??f(z)?1z3(?1)n???(?1)n1n?3 --------14n?0zn?0z