一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．
1?i32的幅角是（??3?2k?,k?0,?1,?2?）；
13?ln2?i ） 2.Ln(?1?i)的主值是（ ； 241(5)f(0)?（ 0 ）3. f(z)?，， 21?zz?sinz4．z?0是 的（ 一级 ）极点； 4z5．
f(z)?1，Res[f(z),?]?（-1 ）； z； f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的导函数为（B ）
二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数
（A） （C）
f?(z)?ux?iuy； （B）f?(z)?ux?iuy；
f?(z)?ux?ivy； （D）f?(z)?uy?ivx.
，则?f(z)dz?0． z?3，如果函数f(z)?（ D ）
C2．C是正向圆周
（A）
3(z?1)33(z?1)； （B）； （C）
(z?2)2z?2z?2?； （D）
3(z?2)2.
ncz3．如果级数?nn?1在
z?2点收敛，则级数在（C）
（A）（C）
z??2点条件收敛 ； （B）z?2i点绝对收敛；
z?1?i点绝对收敛； （D）z?1?2i点一定发散．
４．下列结论正确的是( B )
（A）如果函数
f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点一定解析；
(B) 如果
f(z)在C所围成的区域内解析，则
?Cf(z)dz?0
（C）如果（D）函数
?Cf(z)dz?0，则函数f(z)在C所围成的区域内一定解析；
f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ D ）．
1(A)、?为sin的可去奇点；(B)、?为sinz的本性奇点；
z(C)、?为的孤立奇点.(D)、?为1的孤立奇点； 1sinzsinz1三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设解：因为
f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)是解析函数，求a,b,c,d.
f(z)解析，由C-R条件
?u?v?u?v??? ?x?y?y?x2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,
a?2,d?2,，a??2c,2b??d,c??1,b??1,
给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
ezdz其中C是正向圆周： （2）．计算?C(z?1)2z解：本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数
ez在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1，分别以z1,z2为圆心画互不f(z)?2(z?1)z互
不
包
含
的
小
圆
相交
c1,c2且位于c内
ez?C(z?1)2zdz??C1ezez(z?1)2zdzdz??
C2(z?1)2z?2?i
z?0ezez?2?i()??2?izz?1(z?1)2z15（3）．
?z?3(1?z2)2(2?z4)3dz
解：设
无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z?3内，由留数定理
z15?z?3(1?z2)2(2?z4)3dz??2?iRes[f(z),?] -----（5分） 11?2?iRes[f()2] ----（8分）
zz1()15111z f()2?211zzz(1?2)2(2?()4)3zz111f()2?有唯一的孤立奇点z?0, zzz(1?z2)2(2z4?1)311111Res[f()2,0]?limzf()2?lim?1 2243zzzzz?0z?0(1?z)(2z?1)z15??dz?2?i --------（10分）
z?3(1?z2)2(2?z4)3（4）函数
z(z2?1)(z?2)32f(z)?(z?3)在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，
(sin?z)3
：
请指出它的级. 解
z(z2?1)(z?2)3(z?3)2f(z)?的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?，?3(sin?z)（1）（2）（3）（4）（5）
3z?k,k?0,?1,?2,?3,?为（sin?z）?0的三级零点，
z?0，z??1,为f(z)的二级极点，z??2是f(z)的可去奇点， z?3为f(z)的一级极点，
z?2,?3,?4?，为f(z)的三级极点； ?为f(z)的非孤立奇点。
1在以下区域内展开成罗朗级数；
z2(z?1)备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。 四、（本题14分）将函数
f(z)?（1）0?解：（1）当0?（2）0?z?1，（3）1?z?? z?1?1，
z?1?1
f(z)?111??[]?
2z(z?1)(z?1)(z?1?1)?1]??[?(?1)n(z?1)n]? 而[(z?1?1)n?0??(?1)nn(z?1)n?1
n?0?f(z)??(?1)n?1n(z?1)n?2 -------6分
n?0?（2）当0?z?1
nz?n?0?111?f(z)?2??2=
z2z(z?1)z(1?z)?
???zn?2 -------10分
n?0（3）当1?z??
f(z)?11?z2(z?1)z3(1?1)
z?1n1()??n?3 ------14分 ?n?0zn?0z?1f(z)?3z 1．2.
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1?i2的幅角是（ ??4?2k?,k?0?1,?2,?24 ）；
）；
Ln(?1?i)的主值是（1ln2?i?3.
1(7)f(z)?f(0)?（ 0 ），； 21?zf(z)?z?sinzz3，
，
4．
Res[f(z),0]?（ 0 ） ；
5．
1f(z)?2z； Res[f(z),?]?（ 0 ）