复变函数与积分变换期末考试试卷及答案[1] 下载本文

一.填空题(每小题3分,共计15分)

1.

1?i32的幅角是(??3?2k?,k?0,?1,?2?);

13?ln2?i ) 2.Ln(?1?i)的主值是( ; 241(5)f(0)?( 0 )3. f(z)?,, 21?zz?sinz4.z?0是 的( 一级 )极点; 4z5.

f(z)?1,Res[f(z),?]?(-1 ); z; f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的导函数为(B )

二.选择题(每题4分,共24分) 1.解析函数

(A) (C)

f?(z)?ux?iuy; (B)f?(z)?ux?iuy;

f?(z)?ux?ivy; (D)f?(z)?uy?ivx.

,则?f(z)dz?0. z?3,如果函数f(z)?( D )

C2.C是正向圆周

(A)

3(z?1)33(z?1); (B); (C)

(z?2)2z?2z?2?; (D)

3(z?2)2.

ncz3.如果级数?nn?1在

z?2点收敛,则级数在(C)

(A)(C)

z??2点条件收敛 ; (B)z?2i点绝对收敛;

z?1?i点绝对收敛; (D)z?1?2i点一定发散.

4.下列结论正确的是( B )

(A)如果函数

f(z)在z0点可导,则f(z)在z0点一定解析;

(B) 如果

f(z)在C所围成的区域内解析,则

?Cf(z)dz?0

(C)如果(D)函数

?Cf(z)dz?0,则函数f(z)在C所围成的区域内一定解析;

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数.

5.下列结论不正确的是( D ).

1(A)、?为sin的可去奇点;(B)、?为sinz的本性奇点;

z(C)、?为的孤立奇点.(D)、?为1的孤立奇点; 1sinzsinz1三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分) (1).设解:因为

f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)是解析函数,求a,b,c,d.

f(z)解析,由C-R条件

?u?v?u?v??? ?x?y?y?x2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,

a?2,d?2,,a??2c,2b??d,c??1,b??1,

给出C-R条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

ezdz其中C是正向圆周: (2).计算?C(z?1)2z解:本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程 因为函数

ez在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1,分别以z1,z2为圆心画互不f(z)?2(z?1)z互

相交

c1,c2且位于c内

ez?C(z?1)2zdz??C1ezez(z?1)2zdzdz??

C2(z?1)2z?2?i

z?0ezez?2?i()??2?izz?1(z?1)2z15(3).

?z?3(1?z2)2(2?z4)3dz

解:设

无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分。

f(z)在有限复平面内所有奇点均在:z?3内,由留数定理

z15?z?3(1?z2)2(2?z4)3dz??2?iRes[f(z),?] -----(5分) 11?2?iRes[f()2] ----(8分)

zz1()15111z f()2?211zzz(1?2)2(2?()4)3zz111f()2?有唯一的孤立奇点z?0, zzz(1?z2)2(2z4?1)311111Res[f()2,0]?limzf()2?lim?1 2243zzzzz?0z?0(1?z)(2z?1)z15??dz?2?i --------(10分)

z?3(1?z2)2(2?z4)3(4)函数

z(z2?1)(z?2)32f(z)?(z?3)在扩充复平面上有什么类型的奇点,如果有极点,

(sin?z)3

请指出它的级. 解

z(z2?1)(z?2)3(z?3)2f(z)?的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?,?3(sin?z)(1)(2)(3)(4)(5)

3z?k,k?0,?1,?2,?3,?为(sin?z)?0的三级零点,

z?0,z??1,为f(z)的二级极点,z??2是f(z)的可去奇点, z?3为f(z)的一级极点,

z?2,?3,?4?,为f(z)的三级极点; ?为f(z)的非孤立奇点。

1在以下区域内展开成罗朗级数;

z2(z?1)备注:给出全部奇点给5分 ,其他酌情给分。 四、(本题14分)将函数

f(z)?(1)0?解:(1)当0?(2)0?z?1,(3)1?z?? z?1?1,

z?1?1

f(z)?111??[]?

2z(z?1)(z?1)(z?1?1)?1]??[?(?1)n(z?1)n]? 而[(z?1?1)n?0??(?1)nn(z?1)n?1

n?0?f(z)??(?1)n?1n(z?1)n?2 -------6分

n?0?(2)当0?z?1

nz?n?0?111?f(z)?2??2=

z2z(z?1)z(1?z)?

???zn?2 -------10分

n?0(3)当1?z??

f(z)?11?z2(z?1)z3(1?1)

z?1n1()??n?3 ------14分 ?n?0zn?0z?1f(z)?3z 1.2.

一.填空题(每小题3分,共计15分)

1?i2的幅角是( ??4?2k?,k?0?1,?2,?24 );

);

Ln(?1?i)的主值是(1ln2?i?3.

1(7)f(z)?f(0)?( 0 ),; 21?zf(z)?z?sinzz3,

4.

Res[f(z),0]?( 0 ) ;

5.

1f(z)?2z; Res[f(z),?]?( 0 )