A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C、D可能同时在线段AB上

D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上

【点评】 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a，b不共线，那么λ1a＋λ2b＝μ1a＋μ2b的充要条件是λ1→→→

＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果OA＝xOB＋yOC，则A，B，C三点共线的充要条件是x＋y＝1.

【变式探究】(1)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直14→→→→

线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN(m，n>0)，则＋的最小值为( )

mn

9

A．2 B．4 C. D．9

2

(2) 设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________． 【答案】(1)C (2)(－4，－2)

→→

→→→AB＋AC1→?11?→1→

【解析】 (1)MO＝AO－AM＝－AB＝?2－m?AB＋AC，

2m2

11?→1→→1→?→→1→??1－1?AC?1－1?AB－AC＋AB，同理NO＝?M，O，N三点共线，故＋AC＝λ?2n??2m?22??2n?＋2AB?，

11λ?→?1λλ?→即??2－m－2?AB＋?2－2＋n?AC＝0.

难点二 平面向量的数量积

→→

例2 如图所示，P为△AOB所在平面内一点，向量OA＝a，OB＝b，且P在线段AB的→

垂直平分线上，向量OP＝c.若|a|＝3，|b|＝2，则c·(a－b)的值为( )

53

A．5 B．3 C. D. 22【答案】C

→→→→→→→→

【解析】 设AB中点为D，c＝OP＝OD＋DP，所以c·(a－b)＝(OD＋DP)·BA＝OD·BA＋15→→→→1DP·BA＝OD·BA＝(a＋b)·(a－b)＝(|a|2－|b|2)＝. 222

【点评】 平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想．

【变式探究】(1)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题： 2π

0，?； p1：|a＋b|＞1?θ∈?3??2π?

p2：|a＋b|＞1?θ∈??3，π?； π

0，?； p3：|a－b|＞1?θ∈??3?π?

p4：|a－b|＞1?θ∈??3，π?. 其中的真命题是( )

A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4

→→

(2)在△OAB中，设OA＝a，OB＝b，则OA边上的高等于________．

难点三 平面向量的共线与垂直的综合运用

x2y2

例3 已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|＝2，

ab1

椭圆的离心率为e＝. 2

(1)求椭圆的标准方程；

→→

(2)若P是椭圆上的任意一点，求PF1·PA的取值范围；

(3)已知直线l：y＝kx＋m与椭圆相交于不同的两点M，N(均不是长轴的端点)，AH⊥MN，→→→垂足为H且AH2＝MH·HN，求证：直线l恒过定点．

x2y2

【解答】 (1)由已知得c＝1，a＝2，b＝3，∴所求椭圆方程为＋＝1.

43(2)设P(x0，y0)，又A(－2,0)，F1(－1,0)， 12→→

∴PF1·PA＝(－1－x0)(－2－x0)＋y20＝x0＋3x0＋5. 4

1由于P(x0，y0)在椭圆上，∴－2≤x0≤2，可知f(x0)＝x2＋3x0＋5在区间[－2,2]上单调递

40

→→

增，∴当x0＝－2时，f(x0)取最小值为0；当x0＝2时，f(x0)取最大值为12，∴PF1·PA的取值范围是[0,12]．

y＝kx＋m，??22

(3)由?xy得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

??4＋3＝1

由Δ>0得4k2＋3>m2.

【点评】 本题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着关键作用．本→→题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转化为AM·AN＝0，从而达到使用韦达定理建立直线中参数k，m的方程，确定k，m的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线系方程，实现了证明直线系过定点的目的．

4

【变式探究】已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y＝x，

3右焦点F(5,0)，双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点(不同于A1，A2)，直线A1P、A2P9

分别与直线l：x＝交于M、N两点．

5

(1)求双曲线的方程； →→

(2)求证：FM·FN为定值．

x2y2

【解答】 (1)依题意可设双曲线方程为2－2＝1，则

ab

???c＝5，??c＝a＋b

2

2

b4＝，a3

2

??a＝3，x2y2??∴所求双曲线方程为－＝1.

916??b＝4，

(2)A1(－3,0)、A2(3,0)、F(5,0)，

924→→

，y0?，A1P＝(x＋3，y)，A1M＝?，y0?， 设P(x，y)，M??5??5?24

∵A1、P、M三点共线，∴(x＋3)y0－y＝0，

5

924y96y24y

∴y0＝，即M?5，5?x＋3??. 同理得N?5，－5?x－3??.

????5?x＋3?1624y166y→→

∴FM＝?－5，5?x＋3??，FN＝?－5，－5?x－3??，

????