一、带电粒子在无边界匀强磁场中运动1专项训练

1．如图所示，两个边长均为l的正方形区域ABCD和EFGH内有竖直向上的匀强电场，DH上方有足够长的竖直向下的匀强电场．一带正电的粒子，质量为m，电荷量为q，以速度v从B点沿BC方向射入匀强电场，已知三个区域内的场强大小相等，且直向上射入电场，粒子的重力不计，求：

，今在

CDHE区域内加上合适的垂直纸面向里的匀强磁场，粒子经过该磁场后恰能从DH的中点竖

(1)所加磁场的宽度DH； (2)所加磁场的磁感应强度大小；

(3)粒子从B点射入到从EFGH区域电场射出所经历的总时间． 【答案】(1)d

(2)

(3)

【解析】(1)粒子在ABCD区域电场中做类平抛运动，射出该电场时沿电场方向偏转距离为

由Eq＝ma得a＝ 由l＝vt得t＝ 故d＝at2＝l

粒子射出ABCD区域电场时沿场强方向速度为vy＝at＝v 速度偏向角为tanθ＝＝1 解得θ＝

粒子从DH中点竖直向上射入电场，由几何关系知

得

得

v

(2)射入磁场的速度大小为v′＝由洛伦兹力提供向心力qv′B＝m解得B＝

(3)粒子在左侧电场中偏转的运动时间t1＝ 粒子在磁场中向上偏转运动时间t2＝其中T＝

T

在上方电场中运动减速到零的时间为t3＝t＝2(t1＋t2＋t3) 得

或t＝

粒子运动轨迹如图所示，根据对称性可知粒子运动总时间为

点睛：本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，粒子运动过程复杂，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的前提，作出粒子运动轨迹后，应用类平抛运动规律与牛顿第二定律可以解题，解题时注意几何知识的应用．

2．在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次α衰变．放射出α粒子（2He ）在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R．以m、q分别表示α粒子的质量和电荷量．

（1）放射性原子核用 AZX 表示，新核的元素符号用Y表示，写出该α衰变的核反应方程．

（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，求圆周运动的周期和环形电流大小．

4（3）设该衰变过程释放的核能都转为为α粒子和新核的动能，新核的质量为M，求衰变过程的质量亏损△m．

【答案】（1）放射性原子核用 AZX 表示，新核的元素符号用Y表示，则该α衰变的核

A反应方程为ZX?A?4Z?24Y?2H ；（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，则圆

2?mBq2周运动的周期为 ，环形电流大小为 ；（3）设该衰变过程释放的核能都转

Bq2?m为为α粒子和新核的动能，新核的质量为M，则衰变过程的质量亏损△m为损

11(BqR)2 ． (?)mM2c2【解析】

（1）根据核反应中质量数与电荷数守恒可知，该α衰变的核反应方程为

AZX?A?4Z?24Y?2He

（2）设α粒子在磁场中做圆周运动的速度大小为v，由洛伦兹力提供向心力有

v2qvB?m

R根据圆周运动的参量关系有T?2πR v得α粒子在磁场中运动的周期T?2πm qBqq2B根据电流强度定义式，可得环形电流大小为I??

T2πmqBRv2（3）由qvB?m，得v?

Rm设衰变后新核Y的速度大小为v′，核反应前后系统动量守恒，有Mv′–mv=0 可得v??mvqBR? MM2根据爱因斯坦质能方程和能量守恒定律有?mc?11Mv?2?mv2 22(M?m)(qBR)2解得?m? 22mMc说明：若利用M?A?4m解答，亦可． 4【名师点睛】（1）无论哪种核反应方程，都必须遵循质量数、电荷数守恒．

（2）α衰变的生成物是两种带电荷量不同的“带电粒子”，反应前后系统动量守恒，因此反应后的两产物向相反方向运动，在匀强磁场中，受洛伦兹力作用将各自做匀速圆周运动，且两轨迹圆相外切，应用洛伦兹力计算公式和向心力公式即可求解运动周期，根据电流强度的定义式可求解电流大小．

（3）核反应中释放的核能应利用爱因斯坦质能方程求解，在结合动量守恒定律与能量守恒

定律即可解得质量亏损．

3．如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有以点（2L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，与x轴的交点分别为M、N，在xOy平面内，从电离室产生的质量为m、带电荷量为e的电子以几乎为零的初速度从P点飘入电势差为U的加速电场中，加速后经过右侧极板上的小孔Q点沿x轴正方向进入匀强电场，已知O、

L，飞出电场后从M点进入圆形区域，不考虑电子所受的重力。 2（1）求0≤x≤L区域内电场强度E的大小和电子从M点进入圆形区域时的速度vM；

Q两点之间的距离为

（2）若圆形区域内加一个垂直于纸面向外的匀强磁场，使电子穿出圆形区域时速度方向垂直于x轴，求所加磁场磁感应强度B的大小和电子在圆形区域内运动的时间t； （3）若在电子从M点进入磁场区域时，取t＝0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场（以垂直于纸面向外为正方向），最后电子从N点飞出，速度方向与进入圆形磁场时方向相同，请写出磁场变化周期T满足的关系表达式。

【答案】（1）E?2UeU，vM?2，设vM的方向与x轴的夹角为θ，θ＝45°；（2）Lm3?mL?RmvM2mv3?Lm；（3）T的表达式为T?，t?4（n＝B???2n2emUeRLevM8eU1，2，3，…） 【解析】 【详解】

（1）在加速电场中，从P点到Q点由动能定理得：eU?可得v0?12mv0 22eU m电子从Q点到M点，做类平抛运动， x轴方向做匀速直线运动，t?y轴方向做匀加速直线运动，

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