第八章 非线性控制系统分析习题与解答

7-1 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为

12 (2) G(s)?

s(0.1s?1)s(s?1)2(1.5s?1) (3) G(s)?

s(s?1)(0.1s?1) (1) G(s)?试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？

解 线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图所示。

由对数幅频特性曲线可见，L2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统（2）的描述函数法分析结果的准确程度较高。

7-2 将图示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。

解 (a) 将系统结构图等效变换为图(a)的形式。 G(s)?G1(s)[1?H1(s)] (b) 将系统结构图等效变换为图(b)的形式。 G(s)?H1(s)

G1(s)

1?G1(s)

7-3 判断题7-41图中各系统是否稳定；?1N(A)与G(j?)两曲线交点是否为自振点。

解 （a） 不是 (b) 是 (c) 是 (d) a、c点是，b点不是 (e) (f) a点不是，b点是 (g) a点不是，b点是 (h) 系统不稳定 (i) 系统不稳定 (j) 系统稳定

7-4 已知非线性系统的结构如图所示

图中非线性环节的描述函数为N(A)?A?6A?2(A?0)

试用描述函数法确定：

（1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的Ｋ值范围； （2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。 解 （1）

?1?(A?2)?1?1N(A)?A?6, N(0)??13,N(?)??1 dN(A)dA??4(A?2)2?0 N(A)单调降，?1N(A)也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线?1N(A)和

G(j?)曲线如图所示，可看出，当K从小到大变化时，

系统会由稳定变为自振，最终不稳定。 求使 Im[G(j?)]?0 的?值： 令 ?G(j?)??90??2arctg???180? 得 arctg??45?,??1

是

1K??令 G(j?)??1????322???1??12??1K??23 K3?2K1?可得出K值与系统特性之间的关系：

（2）由图解7-13可见，当?1N(A)和G(j?)相交时，系统一定会自振。由自振条件

A?6?K?(A?6)K????1 A?222(A?2)6K?4?2?A? (A?6)K?2A?4 解出 ?(?K?2) 2?K3????1N(A)G(j?)??1?7-5 非线性系统如图所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定系统输出信号

振荡的振幅和频率。

解 将系统结构图等效变换为下图。

G(j?)?

10?1010?2?j 2j?(j??1)??1?(??1)22??40.2?4?0.2?40.20.2?? N(A)?1???1??? ??j???j2?AA?A?A?A????A???

?1??A?N(A)410.2?0.2?1????jA?A?2??A0.2??0.2? ?1???j?4A?A?2令G(j?)与?1N(A)的实部、虚部分别相等得

100.2?10?A?0.2?

??0.157 2?1???2?(??1)4??14?A?A?0.806。 10.806由题图，r(t)?0时，有c(t)??e(t)?x(t)，所以c(t)的振幅为?0.161。

55两式联立求解得 ??3.91,27-6 试用描述函数法说明图示系统必然存在自振，并确定输出信号c的自振振幅和频率，分别画出信号c、x、y的稳态波形。

解

N(A)?4,?A?1??A ?N(A)4

绘出?1N(A)和G(j?)曲线如图(a)所示，可见D点是自振点， 系统一定会自振。由自振条件可得：

N(A)??1G(j?)

即 ?4?j?(j??2)2?A??4?2j?(4??2)10?10?10 令虚部为零解出?=2，代入实部得A=0.796。 输出信号的自振幅值为：Ac?A2?0.398。 画出c、x、y点的信号波形如图(b)所示。