f??x??0，

∴当x?分

② 当x2??1?1?8a?1?时，函数f?x?在??,1?上取最小值. ……114?2??1?1?8a?1??1即a?3 时,在??,1?上f??x??0，

4?2??1?,1?上取最小值. ?2??1?1?8a时取最小值;当a?3 时,

4时

取

最

小

∴当x?1时，函数f?x?在??由①②可知，当0?a?3 时,函数f?x?在x?函

数

f?x?在

x?1值. …………14分

20．（本小题满分14分）

(考查椭圆、抛物线、直线、定积分等知识，考查数形结合、化归转化等数学思想、以及推理论证能力和运算求解能力)

x2y2解：（1）设椭圆E的方程为 2?2?1(a?b?0)，半焦距为c.

ab由已知条件，得F(0,1)，

?b?1?3?c∴??

2?a?a2?b2?c2? 解得 所

a?2,b?1.

以

椭

圆

E的方程为：

x2?y2?1. …………4分 4（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，

故可设直线l的方程为 y?kx?1，A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)， 由??y?kx?1?x?4y2

2消去y并整理得 x?4kx?4?0， ∴

x1x2??4 . ………

…5分

∵抛物线C的方程为y?121x，求导得y??x， 42∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是

11x1(x?x1)， y?y2?x2(x?x2)， 22112112即 y?x1x?x1 ， y?x2x?x2，

2424 y?y1?解得两条切线l1、l2的交点M的坐标为(∴

x1?x2x1x2x?x2,)，即M(1,?1)，……7分 242FM?AB?(x1?x2121212,?2)?(x2?x1,y2?y1)?(x2?x12)?2(x2?x1)?0 2244∴AB?MF. …………9分

（3）假设存在点M?满足题意，由（2）知点M?必在直线y??1上，又直线y??1与椭圆

E有唯一交点，故M?的坐标为M?(0,?1)，

设过点M?且与抛物线C相切的切线方程为：y?y0?点.

令x?0,y??1得，?1?1x0(x?x0)，其中点(x0,y0)为切2121x0?x0(0?x0)， 42 解得x0?2或x0??2 ， …………11分 故不妨取A?(?2,1),B?(2,1)，即直线A?B?过点F.

综上所述，椭圆E上存在一点M?(0,?1)，经过点M?作抛物线C的两条切线M?A?、

M?B?（A?、B?为切点），能使直线A?B?过点F.

此时，两切线的方程分别为y??x?1和y?x?1. …………

12分

抛物线C与切线M?A?、M?B?所围成图形的面积为

2?111?S?2??x2?(x?1)?dx?2(x3?x2?x)04122??20?4 . ………3…14分

21．（本小题满分14分）

(考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识，考查推理论证能力和运算求解能力和化归转化数学思想) 解: （1）∵an是Sn和2的等差中项，

∴Sn?2?2an， ① …………1分

当n?1时，S1?2?2a1，解得a1?2. 当n?N,n?2时，

*Sn?1?2?2an?1 n?N*,n?2. ②

①－② 得 Sn?Sn?1?2an?2an?1 n?N*,n?2，

∴ an?2an?2an?1， ∴ an?2an?1， ∴

????an?2 n?N*,n?2. an?1??∴ 数列?an?是首项为2，公比为2的等比数列， ∴ an?2n n?N?*? . …………

i?j5分

（2）由ai和aj的所有可能乘积ai?aj?2?1?i?j?n?可构成下表：

21?1，21?2，21?3，…，2，…，21??n?1?，2，2，21?n

22?2，22?32??n?1?2?n 23?3，…，23??n?1?3?n

……………… 2n?n …………

7分

构造如下n行n列的数表：

21?1，21?2，21?3，…，21??n?1?，21?n 22?1，22?2，22?3，…，22??n?1?，22?n 23?1，23?2，23?3，…，23??n?1?，23?n

………………

2n?1，2n?2，2n?3，… ，2n??n?1?，2n?n

设上表第一行的和为T，则 T?n4?1?2?n?4?2?1?.

1?22于是 2Tn?T1?2?2???2n?1???22?24??22n?

?42n?1?2n?1? ?????22?4n?1?4?1

4n2?1???2n?2?2?. ?34nn?1??2??1∴ Tn??2?1. …………10分 ?34nn?1(3)∵Tn??2?1???2?1?，

3